Forum de mathématiques - Bibm@th.net

luccas

Membre

Inscription : 14-09-2013

Messages : 7

exercice des maths

Bonjour

j'ai un exercice qui se répété dans les examen ou j'ai arrivé pas y répondre carje suis en AES c'est  difficile  de résoudre ce type d'exo  , j'ai vraiment  besoin de votre aide 
voila l'énoncé

Un individu a une  fonction d'utilité définie comme suit :   [tex]U(C_1,C_2)  = ln(C_1)+\frac{1}{1+b} ln(C_2)[/tex]

On note Y le revenu réel de la période 1. Le bien disponible en période 1 peut être consommé ou investi dans du capital productif, permettant d'obtenir une quantité [tex]K^\alpha[/tex] en période 2 pour un montant K investi en période 1. On suppose que b est strictement supérieur à -1 et que a  est strictement compris entre 0 et 1.

1) Que signifie l'hypothèse sur [tex]\alpha[/tex] ? Comment s'écrit la contrainte budgétaire de Robinson ?
pour cette question c'est ok mais les 2 dernières question j'ai un blocage totale

2) l'individu investie  [tex]\hat{K} [/tex] = [tex]\frac{1}{1+b+\alpha} Y[/tex]  et consomme [tex]\hat{C} = \frac{1+b}{1+b+\alpha } Y[/tex]
donner l'expression de la productivité marginale du capital et calculer sa valeur
La productivité marginale du capital : est la quantité de production additionnelle générée par l’emploi d’une unité supplémentaire de capital (un euro de capital, ou une machine)
mais j'arrive pas a déterminer sa valeur

3) Robinson peut prêter ou emprunter une somme quelconque moyennant le paiement d'un taux d'intérêt réel donné r.

Montrez que son épargne optimale et son investissement optimal valent respectivement
[tex]\hat{S}= \frac{Y+\hat{K}}{2+b} - \frac{1+b}{2+b} \frac{\hat{K}}{1+r}[/tex]  et [tex]\hat{K} = (\frac{\alpha}{1+r})^\frac{1}{1+\alpha}[/tex]

j’espère avoir de l'aide de votre part

Merci beaucoup

Dernière modification par luccas (22-09-2013 04:31:26)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

Salut,

ton problème, tel que tu l'exposes, n'est pas très compréhensible, il doit manquer des informations ...

Est ce l'énoncé complet ? Si oui, j'avoue ne rien y comprendre, désolé.

luccas

Membre

Inscription : 14-09-2013

Messages : 7

Re : exercice des maths

Bonsoir

Non l'énoncé est complet  voila le lien direct vers l'exercice,  il est sur la page 2 :

http://jb.desquilbet.pagesperso-orange. … fi_TD1.pdf

j'epsere que vous pouvez m'aider

Merci beaucoup

Dernière modification par luccas (23-09-2013 16:34:09)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

Salut,

OK, je vois un peu mieux.

Je vois aussi une ou deux erreurs de transcription, genre :

Un individu a une  fonction d'utilité définie comme suit :   [tex]U(C_1,C_2)  = ln(C_1)+\frac{1}{1+b} ln(C_2)[/tex]

On note Y le revenu réel de la période 1. Le bien disponible en période 1 peut être consommé ou investi dans du capital productif, permettant d'obtenir une quantité [tex]K^\alpha[/tex] en période 2 pour un montant K investi en période 1. On suppose que b est strictement supérieur à -1 et que [tex]\alpha[/tex]  est strictement compris entre 0 et 1.

3) Robinson peut prêter ou emprunter une somme quelconque moyennant le paiement d'un taux d'intérêt réel donné r.

Montrez que son épargne optimale et son investissement optimal valent respectivement
[tex]\hat{S}= \frac{Y-\hat{K}}{2+b} - \frac{1+b}{2+b} \frac{\hat{K^{\alpha}}}{1+r}[/tex]  et [tex]\hat{K} = (\frac{\alpha}{1+r})^\frac{1}{1-\alpha}[/tex]

Doesn't matter !

Sinon, je comprends mieux la problématique. Je reviens ASAP !

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

Re,

Hey biloute, j'aurais une ch'tite question : pourquoi tu fais des sujets de L3 alors que tu dis être en première année d'AES ? Ce n'est pas trop au-dessus de ton niveau actuel ?

Puis en la matière, il y a une règle simple : se procurer le cours du prof dont tu t'es procuré les exos d'application. Il y a des hypothèses implicites qu'on ne trouve que dans son cours.

Par exemple : investir [tex]K[/tex] pour obtenir [tex]K^\alpha[/tex] avec [tex]0 \lt \alpha \lt 1[/tex] est, pour moi, aberrant, sauf si on précise que [tex]0 \le K \le 1[/tex], règle de normalisation à l'unité standard mais peu courante dans la pratique.

Sinon, es-tu allé faire un tour ici ? Je suis sûr que oui !

Dernière modification par freddy (24-09-2013 17:35:13)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

Re,

le graphique de la page 3 de ce document explicite parfaitement le sujet qu'il faut traiter, montrant comment on différencie investissement optimal (pour reporter du revenu disponible en 2) et épargne, qui vient aussi compléter le revenu disponilble en 2.

C'est très pédagogique.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

Re,

avant de donner la solution détaillée du sujet, ce lien est très interessant à lire.

(...)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

(...)

on a donc, en vertu du théorème de séparation de Fisher, deux programmes d'optimisation à résoudre : (par pure convenance personnelle, je pose [tex]i=r[/tex] )

l'un concerne le plan de consommation avec la contrainte de budget suivante [tex]C_1+\frac{C_2}{1+i}=Y + \frac{K^\alpha-(1+i)K}{1+i}[/tex] et la fonction d'utilité ci-dessus indiquée ;

l'autre concerne le choix du montant maximal[tex] K^*[/tex] à investir ;

la réponse à la seconde question est simple : l'investissement maximal est celui qui optimise la richesse qui est donnée par  le terme de droite de la contrainte de budget, savoir [tex]W = Y + \frac{K^\alpha}{1+i}-K[/tex].

Du fait de la quasi-concavité du programme, le maximum est obtenu pour [tex]1 = \frac{\alpha K^{\alpha-1}}{1+i}[/tex] qu'on peut encore écrire[tex] K = \frac{\alpha K^\alpha}{1+i}[/tex] ou bien encore, [tex]K^*=\left(\frac{\alpha}{1+i}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}[/tex]

Reprenons le premier programme d'optimisation (dans lequel [tex]K = K^* [/tex] le capital optimal ci-dessus).

Le Lagrangien s'écrit : [tex]\mathcal{L(C_1, C_2, \lambda)} = ln(C_1)+\frac{Ln(C_2)}{1+b} - \lambda\left(C_1+K + \frac{C_2}{1+i} -Y - \frac{K^\alpha}{1+i}\right)[/tex]

La quasi concavité du Lagrangien permet de s'en tenir aux conditions nécessaires du premier ordre, savoir l'annulation des dérivées premières par rapport aux trois arguments.

Comme fait dans un précédent sujet posté par luccas, on a :

\begin{cases} C_1^{-1}=\lambda \\ \frac{C_2^{-1}}{1+b}=\frac{\lambda}{1+i} \\ C_1+K + \frac{C_2}{1+i} -Y - \frac{K^\alpha}{1+i} = 0 \end{cases}

En remarquant que [tex]\frac{K^{\alpha}}{1+i} = \frac{K}{\alpha}[/tex] le système d'équation précédent se ramène à :

[tex]\frac{2+b}{1+b}\lambda = Y+\frac{1-\alpha}{\alpha}K[/tex].

On en déduit que [tex]C_1 = \frac{1+b}{2+b}\left(Y + \frac{1-\alpha}{\alpha}K\right)[/tex] et par voie de conséquence que l'épargne optimale S est donnée par :

[tex]S^* = Y-K^*-C_1 = \frac{1}{2+b}Y - \frac{1+b}{2+b}\frac{1-\alpha}{\alpha}K^* -K^*= \frac{Y-K^*}{2+b} - \frac{1+b}{2+b}\frac{K^*}{\alpha}[/tex]

(...)

Dernière modification par freddy (24-09-2013 21:02:38)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice des maths

(...)

Une remarque terminale. Pour m'en sortir, j'ai lu avec attention le corrigé en page 3 du sujet n° 2 du document que j'ai mis en lien. Et comme à l'accoutumée, la solution était donnée pour trouver la suite.

Ceci ne me surprend pas à titre personnel : on ne laisse jamais un sujet sans son corrigé, d'une manière ou d'une autre. Il faut parfois bien chercher, ce qui est la base d'une formation supérieure.

C'est probablement ce qui devait manquer à nos amis, et j'espère que cela leur servira de leçon dont ils sauront désormais tirer parti.

Pour ma part, j'en ai fini.

Tschüss !