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#1 19-09-2013 15:09:13
- mimod
- Membre
- Inscription : 03-08-2013
- Messages : 29
Calcul d'une densité
Bonjour,
Soit X une variable aléatoire continue, on pose A = sup (X,0).
Calculons la densité de A, en effet :
Soit a un réel, si a<0 alors FA(a) = P(A<a) = 0 car A est une variable aléatoire positive
si a > 0 alors FA(a) = P(A<a) = P(X<a) = FX(a)
Donc [tex]{F}_{A}\left(a\right)=[/tex][tex]\left\{\begin{array}{C}{F}_{X}\left(a\right)\,\,si\,a\geq 0\\0\,\,\,\ sinon\\\end{array}\right.[/tex]
La fonction densité de A a pour expression : [tex]{f}_{A}\left(a\right)=[/tex][tex]\left\{\begin{array}{c}{f}_{X}\left(a\right)\,\,si\,a\geq 0\\0\,\,\,\ sinon\\\end{array}\right.[/tex]
Or [tex]\int^{+\infty }_{0}{f}_{A}\left(a\right)da\,=\int^{+\infty }_{0}{f}_{X}\left(x\right)dx\,=\,{F}_{X}\left(+\infty \right)-{F}_{X}\left(0\right)[/tex]≠ 1.
Apparemment, l'égalité de ces deux intégrales s’avère fausse, pourquoi ?
Merci d'avance
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#5 22-09-2013 21:31:43
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Calcul d'une densité
Salut,
l'idée est la suivante : on voit que le support de la loi de A est [tex][0, +\infty [[/tex]. Donc l'hypothèse [tex]A \lt a \lt 0[/tex] n'a aucun sens.
Par contre, le point 0 joue un rôle particulier, dans la mesure où [tex]\Pr(A = 0) = F_X(0)[/tex] ce qui n'a aucun sens pour une v.a continue.
Donc la loi de la v.a A est donnée par :
[tex]\begin{cases} \Pr(A \le a) = F_X(a) & \text{si } a \gt 0 \\ \Pr(A = 0) = F_X(0) & \text{sinon} \end{cases}[/tex]
Maintenant, si tu refais ton calcul de vérification, tu vérifieras que la convergence à l'unité est assurée.
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