Forum de mathématiques - Bibm@th.net

luccas

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Exercice en eco

Bonsoir

j'espère que vous allez bien :)

J'ai recuperé quelques annales dont je me bloque , je vais vous présenter les énonces et mes tentatives 
je suis en AES je suis déja redoublant , et cette fois ci c'est ma dernière chance , j'espere trouver quelqu'un qui puisse m'aider , S'il vous plait
je vais exposer ici le 1er exo et dans un autre post les autres exercices pour respecter les règles

      exercice

1) Un individu vivant deux périodes a une  fonction d'utilité qui se pressente comme suit : 

[tex]U(C_1 , C_2)[/tex] =[tex] ln(C_1)[/tex] + [tex]\frac{1}{1+b} ln(C_2)[/tex]

Avec :

Y le revenu réel de la période 1,

[tex]\alpha[/tex]:  le taux de croissance du revenu réel entre les deux périodes,On suppose que b est strictement supérieur à -1
r  le taux d'intérêt réel et
W  la richesse.

1) Écrire la richesse en fonction de Y et de [tex]\alpha[/tex]

2) Commentez la forme de la fonction d'utilité. Comment interpréter le paramètre b ?

3) Calculez le TMS de la consommation future à la consommation présente

4) calculer  les consommations optimales , Combien vaut le TMS de la consommation future à la consommation présente à l'optimum
?
5) A quelles conditions la consommation optimale est-elle constante, croissante ou décroissante dans le temps?

6) A quelle condition l'individu est-il prêteur ?

7) Quel montant épargne-t-il (et offre-t-il sur le marché des fonds prêtables) ?

2)
On suppose que deux individus i et j , vivant deux périodes, se comportent comme l'individu décrit dans l'exercice précédent. On note [tex]b_n[/tex] le taux de préférence pour le présent de l'individu n , Y_n son revenu réel de la période 1, [tex]\alpha[/tex]_ n le taux de croissance du revenu réel entre les deux périodes, [tex]W_n[/tex] sa richesse, et r le taux d'intérêt réel

On définit : [tex]A_n[/tex]≡1 + [tex]\alpha[/tex]_n;[tex]B_n≡1 +b_n[/tex] ;R≡ 1 + r

8) Déterminez le taux d'intérêt d'équilibre du marché des fonds prêtables. Ensuite, étudiez le cas où les revenus des individus sont égaux ([tex]Y_n[/tex]=Y) et constants ([tex]\alpha[/tex]_n = 0), mettez en évidence le lien entre taux d'intérêt d'équilibre et préférence pour le présent. Puis étudiez le cas où les individus ont les mêmes préférences ( [tex]b_1[/tex]=b ), et mettez en évidence le lien entre taux d'intérêt et croissance des revenus.

Mes tentatives

1)  la richesse en fonction de Y et de [tex]\alpha[/tex] :

W= [tex]( Y_0(1+r)+ Y_1)[/tex](1+[tex]\alpha[/tex])

2) le paramètre b est le taux d'impatience du consommateur

3) la TMS= (1+r)/(1+[tex]\alpha[/tex])

4) les consommations optimales :  [tex]C_0=  \frac{1+b}{2+b}W [/tex]   [tex]C_1= \frac{1}{2+b}W[/tex]
pour  le TMS sera egale  1

je me bloque dans les questions  5 et 6

7) l'epargne est egal a   S= \frac{(1+r)-(1+[tex]\alpha[/tex])(1+b)}{(1+r)(1+(1+b))}Y_1

2)

8) aussi ici je me bloque

je me bloque au niveau des questions 5 , 6 et 8

toutes vos aides seront très précieuses , Merci beaucoup pour votre aide

Dernière modification par luccas (16-09-2013 21:48:47)

freddy

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Re : Exercice en eco

Salut,

ta présentation du sujet manque de rigueur, je suis obligé de deviner certains éléments et donc je ne suis pas certain d'avoir tout saisi !

Ce que je ne comprends pas est ta notation du temps. Tantôt, tu notes les périodes 1 et 2, tantôt 0 et 1 ; ensuite tu mélanges quelques concepts ...

Ce que j'ai compris est que ton consommateur dispose en [tex]t=1[/tex] de [tex]Y_1=Y[/tex] et en [tex]t=2[/tex], de [tex]Y_2=Y\times(1+\alpha)[/tex].

J'en déduis que la richesse de ce consommateur [tex]W = Y_1+\frac{Y_2}{1+r}= Y\times\frac{2+r+\alpha}{1+r}[/tex]

Le coefficient [tex]b \gt -1[/tex] est le taux de préférence pour le présent !

(...)

luccas

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Re : Exercice en eco

Bonsoir

Merci beaucoup pour votre aide

oui vous avez raison j'ai mélangé les notations

Pour le reste est il juste ?

4) les consommations optimales :  [tex]C_0=  \frac{1+b}{2+b}W [/tex]   [tex]C_1= \frac{1}{2+b}W[/tex]
pour  le TMS sera egale  1

je me bloque dans les questions  5 et 6

7) l'epargne est egal a   S=[tex] \frac{(1+r)-(1+\alpha)(1+b)}{(1+r)(1+(1+b))}Y_2[/tex]

2)

8) aussi ici je me bloque

je vous remerciez enormement

Dernière modification par luccas (16-09-2013 22:29:49)

freddy

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Re : Exercice en eco

(...)

tu recommences avec les indices ! ...

Pour les niveaux de consommation, il faut résoudre le programme suivant :

[tex] \max_{\atop C_1, C_2} U(C_1, C_2)[/tex] sous la contrainte [tex]C_1+\frac{C_2}{1+r} \le W[/tex]

Tous calculs faits et sauf erreur, on a : [tex]C_1 = W\times \frac{1+b}{2+b}[/tex] et [tex]C_2 = C_1\times \frac{1+r}{1+b}=W\times \frac{1+r}{2+b}[/tex]

Puisque la fonction d'utilité intertemporelle est concave, le programme d'optimisation sous contrainte est soluble via les conditions de première ordre de recherche d'un optimum du lagrangien. En particulier, le multiplicateur de Lagrange [tex] \lambda \gt 0[/tex], la contrainte de budget est bien saturée.

Pour le TMS, relis ton cours !

A partir des réponses ci-dessus, tu devrais pouvoir répondre aux questions suivantes.

On you !

(...)

Dernière modification par freddy (17-09-2013 10:18:44)

freddy

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Re : Exercice en eco

(...)

Pour répondre à la question 5) il faut former le rapport [tex]\frac{C_2}{C_1} = \frac{1+r}{1+b}[/tex]

On en déduis que la consommation reste constante dans le temps si[tex] r = b[/tex], croissante si[tex] r \gt b[/tex] et décroissante si [tex]r \lt b[/tex].

POur la question 6, l'individu est prêteur si sa consommation en[tex] t=1[/tex] est inférieure à son revenu disponible[tex] Y_1[/tex].

L'épargne mise à disposition sur le marché des fonds prêtables est égale à [tex] S = Y_1-C_1=Y\times \frac{(1+r)-(1+b)(1+\alpha)}{(1+r)(2+b)}[/tex].

On déduit que l'individu est prêteur si [tex]1+r \gt (1+b)(1+\alpha)[/tex] qu'on doit pouvoir traduire par : si la rémunération de l'épargne en "valeur présente" est supérieure à la croissance réelle.
(...)

Dernière modification par freddy (18-09-2013 07:41:42)

luccas

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Re : Exercice en eco

Bonjour

pour la question 5 :  A quelles conditions la consommation optimale est-elle constante, croissante ou décroissante dans le temps?

- la consommation optimale est constante si le taux d’intérêt ne change pas
- la consommation optimale croissante si le taux d’intérêt augmente cela fait pivoter la droite de budget et en accroit la pente : pour une réduction de [tex]C_1[/tex] , la consommation de la seconde période   d’autant plus importante que le taux d'interet est plus élevé. Pour le cas contraire la  consommation optimale  sera décroissante .

la question 6: A quelle condition l'individu est-il prêteur ?

l'individu sera prêteur  si le taux d’intérêt augmente

la question 7

le montant de l’épargne ,  j'ai trouvé  :S=  [tex]\frac{(1+r)-(1+\alpha)(1+b)}{(1+r)(1+(1+b))}Y_1[/tex]

luccas

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Re : Exercice en eco

Re

je  viens de voir votre post  M.Freddy , j'été entrain de recopie mes réponses sur le forum  lorsque vous l'avez posté

Pour le raisonnement que j'ai suivis est t il juste ?

pour la question 5 :  A quelles conditions la consommation optimale est-elle constante, croissante ou décroissante dans le temps?

- la consommation optimale est constante si le taux d’intérêt ne change pas
- la consommation optimale croissante si le taux d’intérêt augmente cela fait pivoter la droite de budget et en accroit la pente : pour une réduction de [tex]C_1[/tex] , la consommation de la seconde période   d’autant plus importante que le taux d’intérêt est plus élevé. Pour le cas contraire la  consommation optimale  sera décroissante .

Merci beaucoup pour votre aide

freddy

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Re : Exercice en eco

Salut,

ce serait bien que tu nous fasses savoir si les indications qu'on te donne te conviennent ou pas, au lieu de poser les mêmes questions qui montrent que tu ne lis pas les réponses.

Tu vois quoi ?

luccas

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Re : Exercice en eco

Bonjour

Non absolument pas M.Freddy c'est pas que vos indications ne me conviennent pas   , je voulu juste vous  montrer que j'ai fait un effort c'est tout  , ça se que je voulais

Au contraire j'ai l'honneur d'être guider par des experts comme vous

vraiment , Excusez moi

Merci