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Exercice compliqué d'équation différentielle

Bonjour.
J'ai passé un examen et parmi les exercices proposé il y a eu l’exercice suivant :

   

Étant donné trois paramètres $L,a$ et $\alpha$, on considère l'équation différentielle : [tex](E)\qquad x''+\alpha x' +a x + \sin x =L, \ t\geq0[/tex]
    1) Montrer que les solutions maximales de [tex](E)[/tex] sont définies sur tout [tex]\mathbb{R}[/tex].
    2) On suppose que [tex]a>0[/tex] et [tex]\alpha \geq 0[/tex].
    (a) Établir l’existence d'une constante positive [tex]C[/tex] telle que : [tex]\displaystyle \frac{a}{4}x^2+\frac{y^2}{2}\leq C+1+\frac{L^2}{a^2}[/tex]
    (On pourra utiliser la fonctionnelle [tex]V(x,y)=\frac12 y^2+\frac{a}{2}x^2-L x-\cos x)[/tex]
    (b) En déduire que les solutions de [tex](E)[/tex] restent bornées lorsque [tex]t\rightarrow +\infty[/tex] .
    (3) Considérons la fonction modifiée [tex]V_{\delta}(x,y)= V(x,y) +\delta xy (\delta >0)[/tex].
    (a) Écrire l'équation satisfaite par [tex]\dfrac{dV_{\delta}}{dt}[/tex].
    (b) Montrer que, pour [tex]\delta[/tex] assez petit, [tex]\frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}\leq V_{\delta}(x,y)+1+\frac{2L^2}{a}[/tex].
    (c) En déduire que si [tex]a>0[/tex] et [tex]\alpha >0[/tex], alors il existe une constante [tex]M=M(\alpha,a,L)[/tex] (indépendamment des valeurs initiales) telle que [tex]\forall (x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2,\ \exists T_0 ,\text{ tel que } \forall t\geq T_0,\ x^2(t)+y^2(t)\leq M[/tex].

pour 1) c'est bon mais pour 2) j'arrive pas a trouver le C , voila ce que j'ai fait :

je suppose que [tex]y(t)=x'(t)[/tex] , je calcule[tex] V' ,\frac{dV}{dt}=-\alpha y^2 <0[/tex] et donc V est décroissante , d'ou [tex]V(t)<V(0)[/tex] et donc [tex]\displaystyle\frac{y^2}{2}+\frac{a}{4}x^2 \leq V(x_0;y_0) + 1 + Lx-\frac{a}{4}x^2[/tex]
mais ce que je ne comprend pas c'est comment trouver le [tex]\frac{L^2}{a^2}[/tex] ????
Quelqu'un pourrait il m'aider à le résoudre ?
Merci d'avance,

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Salut "besoin-d'aide",

Il me semble que ton majorant dépend de [tex]x[/tex] pour l'instant non ? Si je te dis "parabole", est-ce que celà t'éclaire ? Et il me semble que le bon majorant est [tex]\frac{L^2}{a}[/tex].

Cordialement,
GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Ok ok , donc j'étudie la fonction [tex]Lx-\frac{a}{4} x^2[/tex] , son maximum est [tex]\frac{L^2}{a}[/tex] en[tex] x=\frac{2L}{a}[/tex]
mais je trouve [tex]\frac{L^2}{a}[/tex] :
[tex]\displaystyle \displaystyle\frac{y^2}{2}+\frac{a}{4}x^2 \leq V(x_0;y_0) + 1 + \frac{L^2}{a}[/tex] .

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Donc c'est surement une erreur  de frappe !
Comme C+1+\frac{L^2}{a }est finie  ne dépend pas de t alors b) est évidente .
Pour 3. a) [tex]\frac{dV_{\delta}}{dt}=(\delta-\alpha)y^2-\delta y'[/tex] .
mais toujours  aucune idée pour démontrer b) !

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Re,

Comme pour l'autre question, il s'agit de manipuler des formes quadratiques pour obtenir des bornes (ici, une minoration). On souhaite montrer que :
[tex]V_{\delta}(x,y) \geq \frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}-\frac{2L^2}{a}-1[/tex]

En découpant le [tex]\frac{a}{2}x^2[/tex] de [tex]V_{\delta}[/tex] en petits morceaux, on peut se débarasser du [tex]-Lx[/tex] et obtenir la minoration par [tex]-\frac{2L^2}{a}[/tex]. Il reste encore assez pour former la fq demandée ainsi qu'un certain reste, dont on peut montrer avec une factorisation de Gauss que c'est une fq dp pour [tex]\delta[/tex] petit.

Euh... bon ok, c'est pas super clair, mais l'idée c'est bien de faire des formes quadratiques et de découper le [tex]x^2[/tex] en morceaux ^^

Bon courage (^_^')
GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Re,
j'ai essayé ça :[tex]V_{\delta}(x,y)=V(x,y)+\delta xy =\frac12y^2 +\frac{a^2}{2}x^2-Lx-\cos x \geq \frac{a}{8}x^2+\frac{3a}{8}x^2+\frac{y^2}{8}+\frac{3y^2}{8}-Lx-\delta xy -1\geq[/tex]
[tex]\frac{a}{8}x^2+\frac{y^2}{8}-1+\frac{3a}{8}x^2-Lx \geq[/tex]
[tex]\frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}-1-\frac{2L}{3}\geq \frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}-1-\frac{2L}{a}[/tex]

C'est juste ?
Avez vous une idée pour c) ?

Merci.

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Il y a un souci dès la seconde inégalité : la fq [tex]\frac{3y^2}{8}-\delta xy[/tex] n'est jamais positive (sauf si [tex]\delta=0[/tex]). Il est impératif d'utiliser un bout de [tex]x^2[/tex] pour obtenir une forme positive. Je recommande de choisir d'abord le bout à utiliser pour la parabole en [tex]x[/tex] de façon à obtenir exactement la constante demandée, [tex]-\frac{2L^2}{a}[/tex]. Ensuite c'est de la factorisation de Gauss bête et méchante.

Pour la dernière question je n'ai pas trop regardé, maintenant qu'on a montré que [tex]V_{\delta}[/tex] est elliptique je suppose qu'il faut utiliser le 3a) et faire du Lyapunov ad'hoc... ça promet d'être pénible.

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Je ne connais pas la factorisation de Gauss ,ou peut être je la connais sous un autre nom ! pouvez vous m'éclairer sur cette factorisation ?
Merci .

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

C'est l'opération qu'on réalise lors d'une réduction de Gauss. L'autre nom serait "identité remarquable", je suppose.
Ici il s'agit précisément de minorer les termes pénibles (parabole+cos), puis de se mettre de côté la forme recherchée et de faire une réduction de Gauss de ce qui reste (et qui se trouve être une forme quadratique). La condition sur [tex]\delta[/tex] apparaît alors d'elle-même.

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Ok, donc je trouve :
[tex]V_{\delta}(x,y)\geq \frac{y^2}{2}+\frac{3ax^2}{8}-Lx-1+\delta xy +\frac{ax^2}{8}[/tex]
[tex]\geq\frac{y^2}{2}+\frac{3ax^2}{8}+\delta xy-\frac{2L^2}{a^2}-1[/tex]
[tex]\geq \frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1+(\frac{3y^2}{8}+\frac{2ax^2}{8}+\delta xy)[/tex]
[tex]=\frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1+[\frac{a}{4}(x+\frac{2\delta}{a}y)^2+(\frac38-\frac{\delta^2}{a})y^2][/tex]
[tex]\geq \frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1[/tex]
pour [tex]\delta <\sqrt{\frac{3a}{8}}[/tex]
C'est bon ?

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Bonjour,
Ok merci , donc je trouve :
[tex]V_{\delta}(x,y)\geq \frac{y^2}{2}+\frac{3ax^2}{8}-Lx-1+\delta xy +\frac{ax^2}{8}[/tex]
[tex]\geq\frac{y^2}{2}+\frac{3ax^2}{8}+\delta xy-\frac{2L^2}{a^2}-1[/tex]
[tex]\geq \frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1+(\frac{3y^2}{8}+\frac{2ax^2}{8}+\delta xy)[/tex]
[tex]=\frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1+[\frac{a}{4}(x+\frac{2\delta}{a}y)^2+(\frac38-\frac{\delta^2}{a})y^2][/tex]
[tex]\geq \frac{y^2}{8}+\frac{ax^2}{8}-\frac{2L^2}{a^2}-1[/tex]
pour [tex]\delta <\sqrt{\frac{3a}{8}}[/tex]
C'est bon ?
Merci .

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Une démo en béton armé, impossible d'avoir des doutes ici. Bien joué ;)

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Salut c'est moi je me suis inscrite !
merci beaucoup , pouvez vous s'il vous plait me donnais un peux plus de détailles pour c) , je doit démontrer que V est une fonction de Liyaponov ?

Merci

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Re,

Inutile, on a *déjà* montré que V est de Lyapunov, du moins au sens où elle décroit sur les orbites. La subtilité ici c'est que suivant les valeurs de L et a on peut avoir non pas un mais plein de points fixes, la condition de minimum habituelle a donc été remplacée par des inégalités bizarres.

J'ai peur de ne pas trop pouvoir t'aiguiller pour cette dernière question, je vois bien quelles méthodes générales de systèmes dynamiques il faut employer pour répondre à la question, en revanche j'ai du mal à voir comment imbriquer les résultats déjà établis dans l'exercice pour conclure. Cet exo est tellement mal rédigé qu'on dirait que c'est moi qui l'ait écrit xD

L'idée générale c'est qu'on a un système dynamique avec fonction d'énergie (V), comme les orbites sont bornées elles ont forcément des points d'adhérence, ces points sont nécessairement critiques pour l'énergie. Or ici l'ensemble des points critiques coïncide exactement avec l'ensemble des points fixes du système, donc l'ensemble de ces points fixes attire à lui toutes les orbites d'où qu'elles viennent. On demande donc d'exhiber un voisinage assez gros des points fixes (une boule ici) qui soit un piège pour les orbites.

Je suppose qu'on peut à partir de ce schéma général montrer à l'aide des inégalités vues précédemment que tout ce qui s'approche à moins de XX des points fixes ne repartira pas à plus de YY, et trouver un ainsi le piège cherché. Mais comme dans le 3) on se casse les pieds à travailler avec [tex]V_{\delta}[/tex], je suppose qu'il doit y avoir une méthode plus fine pour y parvenir... mais elle m'échappe.

GK

RE-EDIT : en fait non, c'était juste ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (16-07-2013 20:04:03)

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Merci , mais je n'arrive pas a démarrer le méthode a suivre n'est pas encore claire dans ma tête .

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Que connais-tu des systèmes dynamiques (continus) ? As-tu déjà entendu parler de fonction de Lyapunov, de points fixes, de l'[tex]\alpha[/tex] et de l'[tex]\omega[/tex] d'une orbite ?... histoire que je sache à quel point il faut faire les choses "à la main". J'ai du mal à évaluer le niveau où a été posé l'exercice, on dirait du L3/M1.

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Je connais les fonction de Lyapunov et sa relation avec la stabilité (U.S,U.A.S,l’attractivité,....),dans les systèmes dynamiques on a vu les théorèmes d’existence et d'unicité , quelque notions sur les trajectoires .
le \alpha et le  w d'une orbite non je ne voie pas !

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Ok, alors allons-y pour la méthode sans [tex]V_{\delta}[/tex]. Avant ça, pour la culture, l'[tex]\omega[/tex] d'une orbite c'est essentiellement "vers quoi elle tend quand [tex]t\to\infty[/tex]". Quand tout va bien c'est un point ou une orbite circulaire, mais ça peut aussi être un truc beaucoup plus sale voire l'espace tout entier (Enfin euh... p'têt pas dans le plan ^^). L'[tex]\alpha[/tex] c'est pareil mais pour [tex]t\to-\infty[/tex]. J'insiste sur le fait que ce n'est pas la méthode attendue dans l'exercice.

1) Quels sont les points fixes du champ ? Quels sont les points critiques de [tex]V[/tex] ?
2) Pourquoi V est-elle strictement décroissante sur les orbites en-dehors des points fixes ? (petite subtilité)
3) Soit [tex]\phi[/tex] le flot du champ. Soit [tex]X_0=(x_0,y_0)[/tex] un point de départ quelconque, montrer qu'il existe [tex]t_n\to\infty[/tex] tel que [tex]\phi(t_n,X_0)[/tex] converge. Pour toute telle suite, montrer que la limite est un point critique pour [tex]V[/tex].
4) Tenant compte du fait qu'il n'y a qu'un nombre fini de points fixes / critiques, expliquer pourquoi pour toute orbite, [tex]\phi(t,X_0)[/tex] converge vers un point critique quand [tex]t\to\infty[/tex]. (Ind. : par l'absurde, supposer qu'elle a plusieurs valeurs d'adhérence, et créer un nouveau point critique sur une petite sphère autour de l'un d'entre eux.)
5) Conclure.

En espérant ne pas me tromper.

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

C'est difficile très difficile '_', je ne pense pas pouvoir résoudre ce problème >_< .
comment faire pour trouver les points fixes d'un champs ?
Merci

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Re,

Faut pas se laisser impressionner commer ça, ce n'est que de l'analyse réelle et de la topologie ;) La seule question dure est la 4), c'est un raisonnement de connexité (Théorème des Valeurs Intermédiaires). Par contre si tu n'as jamais fait de topologie là oui, ça va être très dur !

Oublions un instant l'EDO réelle d'ordre 2, et considèrons l'EDO d'ordre 1 dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] associée :
[tex]\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y\\ \dot{y}=L-\alpha y-ax-sin(x)\end{array}\right.[/tex]
Pour le champ de vecteurs associé, les "points fixes" sont les orbites réduites à un point, autrement dit ceux pour lesquels [tex]\dot{x}=\dot{y}=0[/tex]. À toi !

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

[tex]x'=0 \Rightarrow y=0 , y'=0 \Rightarrow ax+\sin x -L=0[/tex] , mais cette dernière c'est une fonction transcendante il faut la résoudre numériquement ,non ??

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Huhuhu ^^

Mé non. Il faut la résoudre graphiquement : [tex]\sin(x)=L-ax[/tex]. On n'a pas besoin de connaître précisément les points fixes, seulement de savoir majorer leur distance à l'origine (et de savoir qu'il n'y en a qu'un nombre fini). Et ça ça peut se faire à partir de courbes ;)

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Bonjour, bon j'ai fait le graphe de sin(x) mais pour L-ax c'est une droite qui coupe sin(x) en un nombres finis de points mais le nombre de points d'intersection dépend des valeurs de a et de L !

Groupoid Kid

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Bien sûr que ça dépend des données ! Mais ne peux-tu pas trouver un borne [tex]B[/tex] s'exprimant simplement en fonction des données telle que tous les points d'intersection soient compris dans l'intervalle [tex][-B,B][/tex] ? À vrai dire sans donner cette borne je serai bien incapable de démontrer avec tous les détails que le nombre de points d'intersections est fini : avec un peu d'analyse on montre facilement que les intersections sont isolées, si on ajoute bornées ça implique nombre fini :)

GK

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Re : Exercice compliqué d'équation différentielle

Bon je propose [tex]B=\frac{L+1}{a}[/tex] , car  [tex]\sin x = -ax+L[/tex] ,le fait que [tex]|\sin x|\leq 1[/tex] implique que[tex] \frac{L-1}{a}\leq x \leq \frac{L+1}{a}[/tex]

Dernière modification par besoin-d'aide (24-07-2013 22:08:39)