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#1 06-07-2013 15:08:19
- mathieu64
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Éléments d'ordre 2
Bonjour, je bloque sur un problème. Soit G un groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2. Il faut d'abord voir qu'il est abélien. Puis il faut montrer que son ordre est une puissance de 2. Ça j'ai réussi en quotientant G par un élément d'ordre 2 et en faisant une récurrence. Mon problème est que je n'arrive pas montrer que G est isomorphe à (Z/2Z)^n. Mon idée était de quotienter G par <x> ou x n'est pas e et par récurrence dire que G/<x> est isomorphe à (Z/2Z)^n et de conclure en montrant que G/<x>*<x> est isomorphe à G mais ce derniers point je n'arrive pas à le montrer.
Merci d'avance.
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#2 06-07-2013 18:24:57
- Groupoid Kid
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Re : Éléments d'ordre 2
Salut Mathieu64,
Ce qui te manque pour achever ta démonstration c'est de construire (d'une façon ou d'une autre) une section du quotient, i.e. un morphisme [tex]s:G/\langle x\rangle\to G[/tex] telle que [tex]\pi\circ s =\mathrm{id}[/tex] (où [tex]\pi:G\twoheadrightarrow G/\langle x\rangle[/tex] canonique). Si tu as déjà entendu parler de produit semi-direct de groupes, ça devrait te dire quelque chose.
Le plus simple ici est de supposer par récurrence que [tex]G/\langle x\rangle\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n-1}[/tex], et de créer la section via la base (comme pour un espace vectoriel). À l'aide de cette section, on peut facilement exhiber l'iso cherché.
Cordialement,
GK
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