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Invité

[Prépa Première Année] Isoler une variable et résoudre une récurrence

Bonjour à tous !
Je suis en classe préparatoire et après un an de travail insuffisant en math (sinon les autres matières je m'en sors :D) et bien je me réserve cet été pour me mettre à niveau. Et y'a du boulot !

Je suis plus ou moins au point sur toutes les nouvelles notions propres à la prépa, comme les ensembles, les matrices, ou autres.

Mais je me traîne depuis trop longtemps maintenant des problèmes "lycéens" qui me pèsent LOURD ...

Je vous serais très reconnaissant de me venir en aide, surtout que les solutions, une fois qu'on les connait, ne doivent vraiment pas être bien compliquées !

Merci d'avance... <3

Problème N°1 - Isoler X

Je sais isoler une variable, mais dans le cas de cette équation, j'ai beau chercher, je ne trouve pas. Je ne dois pas connaître la petite astuce qui va bien !

Je ne connais pas encore LateX alors je vais faire de mon mieu pour écrire cette équation, qui est tout de même simple .

X = A+2BV(x) (où V(x) est racine de x) et A et B sont deux paramètres positifs ou nuls.
[tex]X = A +2B\sqrt{X}[/tex]
La correction de l'exercice me donne
X = (B+V(A+B²)²
[tex]X=(B+\sqrt{(A+B^2})^2[/tex]  ???non, plutôt : [tex]X=\left(B+\sqrt{A+B^2}\right)^2[/tex] 
Je ne trouve vraiment PAS comment ils font... et il n'y a aucun détail, ça serait trop facile !

Problème N°2 - Récurrence simple

Voilà je connais la méthode de la récurrence, et j'y arrive sur certains cas, mais pas dans celui-ci.

Je vous épargne tout ce qu'il y a avant, et je vous donne juste mon problème !

Je n'arrive pas à montrer que

( [ n(n+1)(2n+1) ] / 6 ) + (n+1)² = ( [(n+1)(n+2)(2n+2)] / 6 )

[tex] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6}[/tex]
Ce cas semble plutôt classique. Et pourtant, j'ai essayé de développer, factoriser, multiplier... je n'y arrive pas !

Je vous remercie donc bien cordialement d'avance de jeter un oeil à ces soucis.

Bonne journée à vous !

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[EDIT]par Yoshi...
Voilà je t'ai doublé tes formules en LateX pour que tu puisses apprendre...
Voir ici Code LateX ou bouton Insérer une équation si Java JRE est installé sur ta machine et là rien à apprendre...

Dernière modification par yoshi (22-06-2013 12:48:34)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : [Prépa Première Année] Isoler une variable et résoudre une récurrence

Bonjour,

Concernant ta 2e formule, il lui manque une parenthèse...

Concernant la récurrence, ta difficulté n"a pas de rapport avec la récurrence...
[tex] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 =  \frac{(n^2+n)(2n+1){6}+6(n+1)^2}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}[/tex]

Je vois que j'ai [tex]9n^2[/tex]
Or [tex](n+1)(n+2)(2n+2)= 2(n+1)^2(n+2)=(2n^2+4n+2)(n+2)=2n^3+4n^2+2n+4n^2+\cdots[/tex]
Et là, je vois que je tombe sur [tex]8n^2[/tex]

Et je me dis : ah ! Problème, il y a un os dans le potage...
On raisonne :
les calculs sont justes...
Et l'égalité ?
En principe, oui...
En principe seulement !
Car si dans [tex]n(n+1)(2n+1)[/tex] on remplace n par n+1, on doit obtenir [tex](n+1)(n+2)(2(n+1)+1) =(n+1)(n+2)(2n+3)[/tex]
L'erreur est là : tu as écris 2n+2...

Racines
[tex]X = A +2B\sqrt{X}\Leftrightarrow X-A=B\sqrt X[/tex]
D'où :
[tex](X-A)^2=4B^2X\Leftrightarrow X^2-2AX+A^2-4B^2X=0\Leftrightarrow X^2-2(A+2B^2)X+A^2=0[/tex]
D'où
[tex]\Delta'=(A+2B^2)^2-1\times A^2 =A^2+4AB^2+4B^4-A^2=4B^2(A+B^2)=\left(2B\sqrt{A+B^2}\right)^2[/tex]
Tu dois pouvoir poursuivre, même si selon la méthode il y a ensuite une petite astuce ou pas...

@+

[EDIT] Attention, j'ai utilisé le discriminant [tex]réduit[/tex], d'où [tex]X=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}[/tex] avec [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]  et  [tex]b'=\frac b 2[/tex]

Dernière modification par yoshi (22-06-2013 13:43:56)