Forum de mathématiques - Bibm@th.net

missedz

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Suite bornée

Bonjour;
Soit: [tex]f:[0,2\pi]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] une fonction différentielle qui satisfait :
[tex]\displaystyle k^2\leq \lim\inf_{|x|\rightarrow \infty} \frac{f(t,x)}{x}\leq \lim\sup_{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x)}{x} \leq (k+1)^2[/tex]

Soit :[tex](x_n)\subset H^1([0,2\pi],\mathbb{R})=\lbrace x\in L^2([0,2\pi],\mathbb{R}),x'\in L^2([0,2\pi],\mathbb{R}),x(0)=x(2\pi)\rbrace[/tex]
telle que :[tex]||x_n||\rightarrow \infty[/tex] lorsque [tex]n\rightarrow \infty[/tex]

Pourquoi la suite :[tex] (\displaystyle\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{||x_n||})[/tex] est bornée ?

Merci pour votre aide .

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Salut missedz,

Avant que Yoshi ne vienne te pendouiller par les orteils au pilori du forum, si tu nous disais ce que tu as utilisé / trouvé pour le moment, et où tu coinces ? Cette fois il ne s'agit pas d'une question de cours, conformément aux règles du forum c'est donc à toi de faire le travail.

Cordialement,
GK

missedz

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Re : Suite bornée

Re;
Es que c'est juste si je dit : que
[tex] \limsup_{|x_n|\to\infty} \frac{f(t,x_n)-k^2x_n}{x_n}\le 2k+1 ,\liminf_{|x_n|\to\infty} \frac{f(t,x_n)-k^2x_n}{x_n}\ge 0[/tex].

Merci.

Dernière modification par missedz (14-06-2013 14:46:28)

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Je l'ignore, cette notation n'a pas de sens : [tex]\limsup_{|x_n|\to\infty}[/tex].

Si tu remplaces [tex]x_n[/tex] par [tex]x[/tex] partout, alors oui c'est vrai (tu ajoutes des constantes à tes inégalités). Si au contraire tu veux dire [tex]\forall t, \limsup_{n\to\infty}[/tex], là c'est faux : il suffit de choisir des fonctions [tex]x_n[/tex] qui s'annulent toutes en 0 par exemple.

J'ai peur qu'il ne faille sortir les [tex]\epsilon[/tex] pour arriver au bout de la question. Es-tu certaine de n'avoir rien oublié dans ton énoncé ?

GK

missedz

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Re : Suite bornée

Non je n'ai rien oublier , c'est dans un article , et pour eux c'est immédiat puisqu'ils ne donnent aucune référence.
Est-ce que je peux juste dire que :
[tex]
\displaystyle k^2\leq \liminf_{|x_n|\rightarrow \infty} \frac{f(t,x_n)}{x_n}\leq \limsup_{|x_n|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x_n)}{x_n} \leq (k+1)^2[/tex]

donc
[tex]\displaystyle 0\leq \liminf_{|x_n|\rightarrow \infty} \frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{x_n}\leq \limsup_{|x_n|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{x_n} \leq (k+1)^2-k^2
[/tex]
d'où la bornitude de [tex]\displaystyle(\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{x_n})[/tex] ????

Merci.

Dernière modification par missedz (15-06-2013 17:18:44)

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Désolé d'insister, mais la notation [tex]\limsup_{|x_n|\to\infty}[/tex] n'a aucun sens. Si tu parles bien de [tex]\limsup_{n\to\infty}[/tex], non, ça n'ira pas tout seul pour injecter la limite [tex]L^2[/tex] de [tex](x_n)[/tex] dans une inégalité [tex]L^{\infty}[/tex].

Et le caractère borné final, on le veut au sens des suites de fonctions [tex]L^2[/tex] ou dans [tex]L^{\infty}[/tex] ? Avec la norme au dénominateur il semblait à peu près clair que la question était dans [tex]L^2[/tex], là ça l'est beaucoup moins ! Que signifie borné ici ?

GK

missedz

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Re : Suite bornée

Dans ma tête il suffit de remplacer [tex]x[/tex] par[tex] x_n[/tex] !
je veux mettre l'article ici je fait comment ?
pour la bornitude il faut trouver un [tex]M[/tex] tel que [tex]|\displaystyle(\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{x_n})|<M[/tex] .

yoshi

Modo Ferox

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Re : Suite bornée

Bonsoir,

je veux mettre l'article ici je fait comment ?

1. D'abord en faire une image (si tu ne veux pas le retaper) via un scanner.
2. L'enregistrer en .jpg ou .png sur ton disque dur. Si l'article n'est pas en couleur, veille à le stocker en N&B.
    Pour affichage à l'écran, une résolution de l'image de l'ordre de 150 points par pouce (dpi) est suffisante.
3. Choisis un hébergeur d'images : casimages.com, imageshack.us, hiboox.fr...
    Connecte-toi  : il te faut transférer (uploader) cette image chez cet hébergeur.
4. Chez casimages il y a le bouton Parcourir : recherche avec l'image sur ton disque, sélectionne-là et valise ton choix.
5. En bas de page se trouve la mention Affichage pour un forum et un lien y figure, tu copies la partie du lien comprise entre les balises img et /img, balises et crochets inclus, et tu déposes ce code où tu veux dans ton message.
Les hébergeurs autres que casimages font usage d'une procédure sinon identique du moins très voisine...

Bonne chance !

@+

missedz

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Re : Suite bornée

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Bonjour,

Tâche d'être un peu ordonnée, s'il te plaît. Ta question n'apparaît pas dans ce texte, et de plus il manque la moitié des définitions. Je veux bien t'aider, mais sans question ni définitions claires c'est assez pénible.

il faut trouver un [tex]M[/tex] tel que [tex]|\displaystyle(\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{x_n})|<M[/tex] .

S'agit-il de la valeur absolue cette fois ? Ou bien d'une norme de fonctions, ou d'une norme de suite (de fonctions) ?

Je réponds tout de même à ceci :

Dans ma tête il suffit de remplacer [tex]x[/tex] par[tex] x_n[/tex] !

L'expression [tex]\limsup_{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x)}{x}[/tex] ne fait intervenir que deux lettres : [tex]f[/tex] et [tex]t[/tex]. La variable [tex]x[/tex] est muette, à part une autre lettre muette tu ne peux donc pas lui substituer quoi que ce soit¹. La seule chose que tu pourrais faire, c'est utiliser un théorème de compositions de limites. Ici [tex]x[/tex] est un réel, et les [tex]x_n[/tex] des fonctions réelles, on peut donc éventuellement composer mais seulement point par point. Sauf qu'ici tu n'as pas d'information² sur la valeur ponctuelle des fonctions [tex]x_n[/tex], tu ne peux donc rien en déduire sur la limite.

Remarques :
¹ En étant extrêmement pervers, on a le droit de considérer localement [tex]x_n[/tex] comme une variable muette au même titre qu'un [tex]y[/tex] ou un [tex]z[/tex], tant qu'on garde en tête que cette variable abstraite n'a rien à voir avec les fonctions [tex]x_n[/tex].
² Ce n'est pas tout à fait vrai, on peut faire des trucs à la sauce Bienaymé-Chebyshev.

Et enfin une piste : as-tu pensé à écrire ce que fournissent les définitions de limite sup et limite inf ?

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (16-06-2013 09:42:23)

missedz

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Re : Suite bornée

Si elle apparait :
"by (1,1) we see that ..."

missedz

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Re : Suite bornée

Bonjour,

Je reviens sur cette question , j'ai posé la question a un prof et il ma donné une idée :
donc le but est de montrer que [tex]f_1(t,x_n)=\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{||x_n||}[/tex] est bornée dans [tex]L^2([0,2\pi])[/tex]

on a [tex]\frac{||f_1(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||} \leq\frac{|| f(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||}+ k^2\frac{ ||x_n||_{L^2}}{||x_n||}\leq \frac{|| f(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||}-k^2[/tex]
car [tex]||x_n||_{L^2}\leq ||x_n||[/tex].

Mais après il m'a dit de faire ça :

[tex]|| f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq  \max\lbrace (k+1)^4\int_0^{2\pi} |x_n|^2 dt , 2\pi M\rbrace[/tex]
tel que [tex]M=\sup_{(t,x)\in [0,2\pi]\times[-a,a]}|f(t,x)|[/tex].

sur le coup j'ai compris l'histoire du max ,mais maintenant je ne comprend plus rien , quelqu'un a une idée ,?

Merci.

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Alleluia !!! Des définitions, des notations explicitées, une question précise ! Te rends-tu compte que pour qui n'a pas lu l'article, ta denière question est infiniment plus claire que la première ? Avec la définition de [tex]f_1[/tex], des normes, etc... j'avoue avoir été un peu de mauvaise foi, mais j'avais trouvé ça pénible de devoir faire ces efforts à ta place.

As-tu remarqué que dans ta formule, il y a un "a" qui apparaît ? Au risque de me répéter :

as-tu pensé à écrire ce que fournissent les définitions de limite sup et limite inf ?

Tu devrais trouver d'où vient ce "a" et avec un peu d'huile de coude retrouver une majoration analogue. Je n'avais pas regardé à l'époque la majoration pour [tex]f[/tex] mais pour [tex]f_1[/tex], et à [tex]\epsilon[/tex] près j'ai obtenu la même chose.

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (24-06-2013 20:59:25)

missedz

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Re : Suite bornée

Ouii je l'ai remarqué ! j'applique ça :
[tex]\limsup (u_n)=\inf (\sup_{k\geq n} u_k) ,\liminf (u_n)=\sup (\inf_{k\geq n} u_k)[/tex]
???
Merci.

Dernière modification par missedz (24-06-2013 21:38:12)

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

J'ai peur que ça ne suffise pas, je pensais plutôt à sortir les [tex]\epsilon[/tex], mettre un peu les mains dans le cambouis... Saurais-tu tirer de tes inégalités de [tex]\limsup / \liminf[/tex] une inégalité à la Weierstrass, du style [tex]\forall |x|\ldots[/tex] ?

GK

missedz

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Re : Suite bornée

Je doit trouver que :
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   (k+1)^4\int_0^{2\pi} |x_n|^2 dt[/tex]
et
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   2\pi \sup_{(t,x)\in[0,2\pi]\times[-a,a]}|f(t,x)|[/tex]

la chose que je ne comprend pas c'est pourquoi au début on a x_n puis on se retrouve avec x ?

Merci.

missedz

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Re : Suite bornée

D'apres :http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior

[tex]\liminf _{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x)}{x}\geq k^2 \Rightarrow \forall |x|, \forall \varepsilon >0 , \exists a >|x|, \frac{f(t,x)}{x}\geq k^2 [/tex]

Pour [tex]\limsup[/tex] je ne sais pas !

Dernière modification par missedz (24-06-2013 22:48:58)

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Eh bien il faudrait déjà commencer par là. Travailler avec des objets qu'on ne maîtrise pas c'est forcément voué à l'échec !

D'apres :http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior

Wikipédia est une bonne aide ponctuelle quand on a besoin d'une définition ou d'un aide-mémoire. Là c'est un cours de topologie ou d'analyse réelle qu'il te faut.

Pour faire simple, si [tex](u_k)[/tex] est une suite réelle, les suites [tex]i_k=\inf_{p\geqslant k}(u_p)[/tex] et [tex]s_k=\sup_{p\geqslant k}(u_p)[/tex] fournissent des encadrements de plus en plus précis des [tex]\{u_p|p\geqslant k\}[/tex]. En passant à la limite, on obtient une sorte d'encadrement asymptotique de [tex]u[/tex]. Une des premières propriétés que l'on apprend c'est donc que :
[tex]\forall\epsilon>0, \exists K, \forall k>K : I-\epsilon<u_k<S+\epsilon[/tex]
où [tex]I=\lim (i_k)[/tex] et [tex]S=\lim (s_k)[/tex]. En clair, [tex](u_k)[/tex] peut dépasser de l'encadrement fourni par [tex]I[/tex] et [tex]S[/tex], mais de moins en moins à mesure que [tex]k\to\infty[/tex]. Remarque que si [tex]S=I=L[/tex], on retombe sur la définition de la limite de [tex]u[/tex].
Ici tu as une fonction de la variable réelle [tex]x[/tex] au lieu d'une suite, mais le principe reste essentiellement le même. Si ça te paraît obscur, j'insiste, prends un cours de topo/analyse réelle. Ce sont des notions fines qu'il faut manipuler suffisamment pour les assimiler.

Je doit trouver que :
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   (k+1)^4\int_0^{2\pi} |x_n|^2 dt[/tex]
et
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   2\pi \sup_{(t,x)\in[0,2\pi]\times[-a,a]}|f(t,x)|[/tex]

Non. C'est un max, pas un min !

la chose que je ne comprend pas c'est pourquoi au début on a x_n puis on se retrouve avec x ?

Il n'y a pas de [tex]x[/tex], c'est dans ta tête. En vérité, tout ce que tu as c'est la fonction [tex]f[/tex], et son max sur un certain compact : [tex]\max_{[0,2\pi]\times[-a,a]}f[/tex]. On l'écrit avec un [tex](t,x)[/tex] seulement parce que c'est plus commode*. Le truc c'est que si ce max est valide pour [tex]x\in[-a,a],t\forall[/tex], il sera a fortiori valide pour [tex]f(t,x_n(t))[/tex] lorsque [tex]x_n(t)\in[-a,a][/tex].

*Au passage, si ce genre de chose te déstabilise, je te signale que [tex]\|f(t,x_n)\|_{L^2}[/tex] est aussi un abus d'écriture, il faut écrire soit [tex]\|f(t,x_n(t))\|_{L^2}[/tex] (abusif mais courant) soit [tex]\|f(\cdot,x_n)\|_{L^2}[/tex] (fonction sans variable, rigoureux mais peu usité). De la même façon que l'on écrit [tex]\int_0^{2\pi} f(t,x_n(t))^2 dt=\int_{[0,2\pi]} f(\cdot,x_n)d\mu[/tex].

Allez, à toi de jouer : écris-moi ce que tu peux déduire de tes inégalités de départ, en prenant par exemple [tex]\epsilon=1[/tex].

GK

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Ploum à tous,

une semaine s'étant écoulée sans nouvelles de missedz, voici une méthode de résolution :

Prenant [tex]\epsilon=1[/tex] dans l'encadrement des [tex]\limsup / \liminf[/tex], on trouve un [tex]a>0[/tex] tel que :
[tex]\forall |x|>a,\quad k^2-1<\frac{f(t,x)}{x}<(k+1)^2+1[/tex]

S'ensuit donc :
[tex]\forall |x|>a,\quad -|x|<f(t,x)\cdot\mathrm{sgn}(x)-k^2|x|<(2k+2)|x|[/tex]
[tex]\forall |x|>a,\quad |f_1(t,x)|<(2k+2)|x|[/tex]

On forme alors pour tout n :
[tex]\begin{eqnarray*}
\int_0^{2\pi}f_1(t,x_n(t))^2dt &=& \int_{x_n^{<-1>}([-a,a])}f_1(t,x_n(t))^2dt
+\int_{[0,2\pi]\setminus x_n^{<-1>}([-a,a])}f_1(t,x_n(t))^2dt \\
&\leqslant& \int_{x_n^{<-1>}([-a,a])} \left(\max_{[0,2\pi]\times[-a,a]}{|f_1|}\right)^2dt
+\int_{[0,2\pi]\setminus x_n^{<-1>}([-a,a])} 4(k+1)^2\cdot x_n(t)^2dt\\
&\leqslant& 2\pi M^2+8\pi(k+1)^2(\|x_n\|_{\infty})^2
\end{eqnarray*}[/tex]
(Remarque : on aurait pu majorer avec [tex]\|x_n\|_{L^2}[/tex])

D'où il vient :
[tex]\|f_1\|_{L^2}\leqslant \sqrt{2\pi}(M+2(k+1)\|x_n\|)[/tex]
Et donc dès que [tex]\|x_n\|\geqslant 1[/tex] :
[tex]\frac{\|f_1\|_{L^2}}{\|x_n\|}\leqslant \sqrt{2\pi}(M+2k+2)[/tex]
D'où le caractère borné (en supposant [tex]x_n\neq 0 \forall n[/tex] évidemment).

On peut procéder de façon analogue pour [tex]f[/tex].

GK

missedz

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Re : Suite bornée

Bonjour , merci @Groupoid Kid
j'avais des examens c'est pour ça que je n'ai pas répondu , mais merci beaucoup pour la réponse c'est très gentil de votre part , la je suis entrain de chercher un livre ou je peux trouver plus d'info sur[tex] \liminf[/tex] et [tex]\limsup[/tex] ,j'ai du mal avec la définition en utilisant [tex]\varepsilon[/tex] , je ne la connais pas !

Groupoid Kid

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Re : Suite bornée

Salut missedz,

La propriété que j'ai cité n'est pas une définition, c'est une conséquence de la défintion des limites (ou des pptés de borne sup / inf) et de la monotonie des suites d'encadrement. Ici il y a une petite difficulté supplémentaire du fait que ce sont des limites à variable continu et non à variable discrète (entière).

La difficulté avec les liminf / limsup c'est que la définition n'aide pas trop à comprendre ce qu'elles sont réellement, ce qu'il faut c'est garder en tête un dessin dans le style de celui donné sur wikipédia avec l'idée "d'encadrement asymptotique", et trouver des propriétés formelles qui traduisent bien les phénomènes observés. Un notion-clé qui aide beaucoup dans ce cadre c'est celle de valeur d'adhérence.

GK