Forum de mathématiques - Bibm@th.net

missedz

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Espace Tangent

Bonsoir,
J'ai cette définition de l'espace tangent :
"Soit [tex]m \in M[/tex], un arc différentiable sur [tex]M[/tex]$ passant par [tex]m[/tex] est une courbe différentiable [tex]c: t\in I \rightarrow M[/tex] , avec[tex] I[/tex] un intervalle ouvert contenant [tex]0\in \mathbb{R}[/tex] et [tex]c(0)=m[/tex].
Soit [tex]\mathcal{A}_m[/tex] l'ensemble de tels arc , on introduit la relation d'équivalence suivante entre ces arcs :
[tex]c \sim c'[/tex] si et seulement s'il existe une carte [tex](U,\varphi)[/tex] avec [tex]m \in U[/tex] et des restrictions de [tex]c ,c'[/tex] a des intervalles [tex]I,I'[/tex] telles que [tex]c(I),c'(I') \subset U[/tex] et [tex]\displaystyle\frac{d(\varphi\circ c)}{dt}(0)=\frac{d(\varphi\circ c')}{dt}(0)[/tex].

Un vecteur tangent en [tex]m[/tex] a [tex]M[/tex] est une classe d'équivalence [tex][c][/tex] dans [tex]\mathcal{A}_m[/tex] pour cette relation d'équivalence .
L'ensemble des vecteurs tangents en $m$ a $M$et est noté[tex] T_m M[/tex]"

Ma premiére question est comment appliquer cette définition sur une fonction de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] , c'est a dire comment retrouver l’hypothèse [tex]c(0)=m[/tex] ?

Merci pour votre aide .

-----------------------------------------------------------------------

[EDIT]

J'ai repris ton image_torchon, l'ai recadrée, rendue lisible et opéré une rotation de 90°.
S'il te plaît, la prochaine fois fais un effort parce que moi, je n'en referai pas : c'était - involontairement - un manque de respect envers ceux qui auraient souhaité t'aider...

Merci d'avance

     Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (10-06-2013 21:59:36)

Groupoid Kid

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Re : Espace Tangent

Salut missedz,

Ma premiére question est comment appliquer cette définition sur une fonction de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] , c'est a dire comment retrouver l’hypothèse [tex]c(0)=m[/tex] ?

Euh... alors là c'est pas clair. Une fonction n'est pas une variété. Veux-tu parler de M="graphe de la fonction" ? Qu'entends-tu par "retrouver l’hypothèse" ?

Ton dessin m'intrigue : ce que tu as dessiné, même si c'est le graphe d'une fonction [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex], au sens des variétés c'est avant tout une courbe (donc une copie de [tex]\mathbb{R}[/tex] ou d'un intervalle) plongée dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Et le vecteur que tu as dessiné n'est pas un vecteur tangent à M au sens théorique (qui sont abstraits), mais un élément (de la direction vectorielle) d'un plongement de [tex]T_mM[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]...
Je vais tâcher d'être plus clair : soit f ta fonction, [tex]\gamma=(id,f)[/tex] la paramétrisation canonique du graphe, et [tex]m=\gamma(t_0)=(t_0,f(t_0))[/tex] ton point. Le vecteur que tu as dessiné, disons de longueur [tex]\lambda[/tex], correspond au vecteur tangent théorique [tex][\gamma(t_0+\lambda t)][/tex]. Si tu vois ta courbe à la source, autrement dit comme une copie conforme de [tex]\mathbb{R}[/tex], ton vecteur tangent est juste l'élément [tex]\lambda\in T_{t_0}\mathbb{R}[/tex]. Et la façon la plus compliquée de le voir, c'est la tienne : si tu plonges [tex]M=\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] via [tex]\gamma[/tex], alors seulement tu peux identifier ton vecteur tangent au vecteur [tex]m+\partial_t\{\gamma(t_0+\lambda t)\}[/tex]...

Est-ce que ça t'éclaire un peu ?

GK

missedz

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Re : Espace Tangent

Bonjour,
merci pour votre réponse Mr.Groupoid Kid ,
mais je veux comprendre :le  vecteur tangent au point m sur le dessin  appartient a l'espace tangent [tex]T_m M[/tex],  la courbe c doit vérifier qu'au moment [tex]t=0[/tex] , [tex]c(0)=m[/tex] donc il y a un autre paramètre [tex]t[/tex]  ?.

Merci pour votre aide .

Groupoid Kid

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Re : Espace Tangent

Re,

Mea culpa, j'ai employé la même lettre mais il aurait été plus judicieux effectivement d'en changer pour éviter les amalgames. Quelques détails donc.

Il y a deux paramétrisations à distinguer : celle de M, que j'ai appelée [tex]\gamma[/tex], et celle de c : [tex]c(t)=\gamma(t_0+\lambda t)[/tex].
Les deux se ressemblent beaucoup ici du fait que je me suis contenté d'une transformation affine sur la paramétrisation de M, mais j'aurais pu choisir [tex]c_2(t)=\gamma(t_0+\mathrm{Argth}(\lambda t))[/tex] où [tex]c_3(t)=\gamma(t_0+\lambda\sin(t))[/tex]. Ces courbes représentent le même vecteur tangent abstrait [tex][c]=[c_2]=[c_3][/tex], que tu peux (abusivement) identifier au vecteur géométrique [tex]m+\lambda\frac{\dot{\gamma}(t_0)}{\| \dot{\gamma}(t_0) \|}[/tex] (de [tex]\mathbb{R}^2[/tex]).

Tu remarqueras que j'ai utilisé [tex]\gamma[/tex] à chaque fois : on n'a en fait pas trop le choix, pour définir un objet numériquement (une courbe) sur une variété, il faut d'abord le créer dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], puis l'envoyer sur M à l'aide d'une carte (d'une paramétrisation en fait, l'inverse d'une carte). C'est essentiellement le seul moyen de faire du numérique sur l'objet abstrait M. Ici n=1, je trace donc d'abord une courbe dans... [tex]\mathbb{R}[/tex], puis je l'envoie sur M avec [tex]\gamma[/tex].

GK

missedz

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Re : Espace Tangent

Ok merci ,je commence a comprendre ,
s'il vous plait que veut dire cette phrase :
"[tex]c\sim c′[/tex] si et seulement s'il existe une carte [tex](U,\varphi)[/tex] avec [tex]m\in U[/tex] et des restrictions de [tex]c,c′[/tex] a des intervalles [tex]I,I′[/tex] telles que [tex]c(I),c′(I′)\subset U[/tex] et[tex] \frac{d(\varphi \circ c)}{dt}(0)=\frac{d(\varphi \circ c′)}{dt}(0)[/tex]"
On restrain qui a quoi , vue que c et c' sont déja définis sur I,I' respectivement

Merci .

Groupoid Kid

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Re : Espace Tangent

Bonsoir,

c et c' sont déja définis sur I,I' respectivement

Justement pas, afin de ne pas alourdir les domaines de [tex]c[/tex] et [tex]c'[/tex] n'ont pas été précisés. Disons qu'au départ [tex]c[/tex] et [tex]c'[/tex] sont définies sur [tex]I_0[/tex] et [tex]I'_0[/tex], a priori leur image n'est pas contenue dans [tex]U[/tex] donc on restreint de façon à ce que les composées [tex]\varphi\circ c[/tex] et [tex]\varphi\circ c'[/tex] soient définies ([tex]0\in I\subset I_0\cap c^{<-1>}(U)[/tex]).
À vrai dire on se moque de l'ensemble de définition de [tex]c[/tex] et [tex]c'[/tex], ce qui compte pour avoir le vecteur tangent en [tex]m[/tex] c'est ce qui se passe au voisinage de 0 (leur germe en 0).

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (12-06-2013 21:10:59)

missedz

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Re : Espace Tangent

Re;
mais il est dit que [tex]c: I \rightarrow \mathbb{R} [/tex] , je comprend que pour que la dérivé de [tex]\varphi \circ c[/tex] en 0 est un sens il faut que [tex]c(I)\subset U[/tex] , mais je comprend toujours pas la fameuse restriction .
Merci.

Groupoid Kid

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Re : Espace Tangent

Rhooo...

Il est simplement dit que [tex]c(I)\subset M[/tex], et M est a priori bien plus grande que [tex]U[/tex].

Histoire de mettre les points sur les "I" : dans la première phrase, on explique que l'on travaille sur l'ensemble de courbes suivant :
[tex]\mathcal{A}_m=\bigcup_{\stackrel{I\text{ intervalle réel}}{0\in I}}\{c:I\to M\text{ différentiable}\ |\ c(0)=m\}[/tex]
À noter que l'on pourrait très bien se fixer [tex]I=[-1,1][/tex] pour toutes les courbes mais ce serait moins flexible dans la pratique. (Le mieux étant d'utiliser des germes de courbes pour supprimer la présence de I, mais ce serait introduire un concept très compliqué pour masquer un détail sans importance.)

Dans la seconde phrase on définit une relation d'équivalence sur [tex]\mathcal{A}_m[/tex], à savoir :
[tex]c\sim c' \quad\Leftrightarrow\quad \exists(U,\varphi)[/tex] carte en [tex]m[/tex] telle que [des trucs].
Cette relation d'équivalence faisant intervenir un [tex]U[/tex] qui peut être très petit et des courbes qui peuvent a priori faire 10 fois le tour de la variété, on prend la précaution de préciser qu'il faudra restreindre les domaines de [tex]c[/tex] et [tex]c'[/tex] pour que leurs images soient contenues dans [tex]U[/tex].
Par exemple, avec les notations précédentes, tu peux voir [tex]\gamma[/tex] tout entière comme une courbe sur M, et si [tex]f'(0)\neq 0[/tex], la projection sur l'axe des ordonnées est une carte locale au voisinage de [tex]m=\gamma(0)[/tex]. Ici la carte à toutes les chances d'être bien plus petite que la courbe. (À moins que [tex]f[/tex] soit un difféo... bon, bref.)

GK

missedz

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Re : Espace Tangent

Bonjour,
Donc on restreint [tex]c(I)[/tex] a[tex] U[/tex] , c'est ça ?
Merci.

Groupoid Kid

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Re : Espace Tangent

Re,

Euh... plus ou moins ? Techniquement, comme dit plus haut on restreint [tex]c:I_0\to M[/tex] à un intervalle [tex]I_1[/tex] tel que [tex]0\in I_1\subset I_0\cap c^{<-1>}(U)[/tex], de sorte [tex]c(I_1)\subset U[/tex].
Au risque de passer pour un horrible Bourbakiste, ce sont les fonctions et non leurs images que l'on restreint (donc [tex]c[/tex] ici), et on ne peut restreindre à l'arrivée que si l'image est contenue dans le nouvel ensemble d'arrivée (par exemple si [tex]c(I)\subset U[/tex] on peut considérer la restricition [tex]c^{|U}:I\to U[/tex]).

GK