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natoo

Invité

espace topologique

Bonjour,
Soient E un espace topologique, u l'application de P(E) dans P(E) définie par :
pour tout [tex]A\subset\,, u(A)=int(\bar{A})[/tex].
Je n'arrive pas à montrer que [tex]u\circ u = u[/tex].
Je vous remercie de m'aider.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : espace topologique

Salut,

  Autrement dit, tu dois démontrer que pour toute partie A, tu as
[tex]Int(\bar A)=Int(\overline{Int(\bar A)})[/tex].

Déjà, il y a une inclusion qui n'est pas très difficile....

Fred.

lieutenantaka

Membre

Inscription : 30-04-2013

Messages : 7

Re : espace topologique

Bonsoir!
l’intérieur de l’adhérence de A est inclus dans l’adhérence de A. Donc l’adhérence de l’intérieur de l’adhérence de A est inclus dans l’adhérence de l’adhérence de A, or l’adhérence de l’adhérence de A est égale à l’adhérence de A. Alors l’adhérence de l’intérieur de l’adhérence de A est inclus dans l’adhérence de A et enfin l’intérieur de l’adhérence de l’intérieur de l’adhérence de A est inclus dans l’intérieur de l’adhérence de A. Ainsi UoU(A) est inclus dans u(A).
Maintenant pour l'autre sens on a U(A) qui est inclus dans l’adhérence de U(A), donc l’intérieur de U(A) est inclus dans l’intérieur de l’adhérence de U(A), or U(A) est ouvert donc l’intérieur de U(A) est U(A) ainsi U(A) inclus dans l’intérieur de l’adhérence de U(A) qui est UoU(A) d'où le résultat!
Si ce n'est pas clair essayez d'ecrire ça au propre....