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Simon

Invité

Exercice matrice, diagonalisation

Salut à tous,

Je fais appel à votre aide car je bloque sur un exercice d'algèbre depuis plusieurs heures. Ainsi, plutôt que de tourner en rond, j'ai décidé de poster un message sur ce forum.
On se fixe un entier n supérieur ou égal à 3.
Et on définit une matrice avec un cadre de 1 et des 0 au milieu (désolé le plugin latex ne veut pas fonctionner),

soit en cas n=3

A = 1 1 1
      1 0 1
      1 1 1

J'arrive à montrer que pour n=3 la matrice est diagonalisable. Pour montrer qu'elle l'est il suffirait de faire une récurrence sur n, mais comment passer de n à n+1 ? J'ai aussi penser à trouver un annulateur en calculant les puissances successives de ma matrice.
En revanche pour montrer qu'elle ne l'est pas, il suffirait, comme elle est de rang 2, d'exhiber un entier supérieur ou égal à 3 tel que 0 ait une multiplicité plus grande strictement que n-2 pour montrer qu'elle n'est pas diagonalisable.

Des suggestions ?

merci

Groupoid Kid

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Re : Exercice matrice, diagonalisation

Salut Simon,

La récurrence me semble une mauvaise idée. À l'oeil nu je vois que le Ker de ta matrice est très gros (dim >= n-2), du coup je tente ma chance avec le polynôme caractéristique... ça devrait se finir assez vite ^^

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (16-05-2013 11:52:41)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Exercice matrice, diagonalisation

Bonjour,

(désolé le plugin latex ne veut pas fonctionner),

- L'éditeur d'équations de Fred ne fonctionne que si Java est installé sur ta machine, mais ça n'est qu'une solution de facilité...
- personnellement (et je ne suis pas le seul), je ne m'en sers pas : je contrôle tout moi-même sans aucun prérequis, ni plugin, en suivant le lien Code LateX en bas de fenêtre de rédaction des messages. Ça fonctionnera toujours...

@+

Groupoid Kid

Membre

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Messages : 155

Re : Exercice matrice, diagonalisation

N'aimant pas laisser une preuve incomplète, je précise la fin de ma méthode : par un calcul de déterminants (comprenant, je le concède, une récurrence immédiate), on trouve que le polynôme caractéristique de A est [tex]X^{n-2}(X^2-2X-2(n-2))[/tex]. Il s'ensuit, à cause de la dimension du noyau, que A admet le polynôme annulateur simplement scindé [tex]X(X^2-2X-2(n-2))[/tex] (pour [tex]n\geqslant 3[/tex]), et donc A est diagonalisable.

Pas très élégant et un peu longuet, si quelqu'un a mieux je suis preneur :)

GK

Fred

Administrateur

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Re : Exercice matrice, diagonalisation

J'ai cherché également, et je n'ai pas fait mieux que toi
(je n'ai pas vraiment besoin de récurrence pour le calcul du déterminant, mais bon, j'imagine que toi non plus).

Fred.

Simon

Invité

Re : Exercice matrice, diagonalisation

On a aussi le théorème spectral, je suis parti dans un délire complet, la matrice est symétrique réelle. Enfin bon merci à tous.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Exercice matrice, diagonalisation

Effectivement, oui...
C'est toujours le problème des exercices hors contexte; quand on ne sait pas quelles sont les connaissances
à disposition, on peut s'enfermer dans une preuve bien compliquée!

F.