Somme partielle

Valentin · 18-03-2013 13:36:15

Bonjour,
J'ai une question, qui me fait tourner en rond, sur la série entière. Si quelqu'un veut bien m'aider, merci!

[tex](1-t)(\sum(\sin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)t^n[/tex] tend vers 0 quand t tend vers 1^- avec n varie de 1 à l'infini. (le code latex ne fonctionne pas!).

Valentin

------------------------
[EDIT]
N-B \left( et \right) servent à écrire de grandes parenthèses...

Valentin a écrit :

(le code latex ne fonctionne pas!).

Faux ! La preuve...
Alors, corrige ta formule s'il te plaît... Après (1-t) je compte 4 parenthèses ouvrantes et 2 fermantes ci-dessous :

Valentin a écrit :

(1-t)(sum(sin(1/sqrt(n))tⁿ

Fred · 18-03-2013 20:31:28

Bonjour Valentin,

L'idée est assez naturelle. Si les coefficients de ta série entière étaient tous égaux à 1, au lieu d'être égaux à [tex]\sin(1/\sqrt n)[/tex],
alors [tex](1-t)\sum_{n\geq 0}t^n[/tex] serait égal à 1. L'idée est qu'on met des coefficients négligeables devant 1, et que la somme de la série entière devient négligeable au voisinage de 1.

La mise en forme demande un peu de soin. On commence par fixer [tex]\varepsilon>0[/tex]. Il existe un entier [tex]N[/tex] tel que,
pour [tex]n\geq N[/tex], on a [tex]0\leq \sin(1/\sqrt n)\leq \varepsilon [/tex].

On coupe alors la somme en 2 :
[tex](1-t)\sum_{n\geq 0}\sin(1/\sqrt n)t^n =(1-t)\sum_{n=0}^N \sin(1/\sqrt n)t^n +(1-t)\sum_{n\geq N}\sin(1/\sqrt n)t^n[/tex]

La première partie ne pose pas de problèmes, car on a affaire a une somme finie. Pour la deuxième partie, je te laisse avancer
en utilisant l'encadrement de [tex]\sin(1/\sqrt n)[/tex] que l'on a choisi précédemment.

Fred.

Valentin · 18-03-2013 22:45:01

Bonsoir à tous,
Merci Yoshi de m'avoir corrigé. En effet, dans ma formule, il y a eu des parenthèses ouvrantes en trop. Désolé. Par contre, c'est peut-être mon ordinateur, l'éditeur d'équation en ligne ne fonctionne pas sur mon ordinateur: il s'ouvre, j'écris les donnés puis je clique sur "insérer " dans le message, il se bloque!...
Merci Fred!
Pour la deuxième partie, en utilisant l'encadrement de sin, je trouve :
[tex]\left(1-t\right)\sum^{}_{n\geq N}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right){t}^{n}\leq \left(1-t\right)\epsilon {t}^{N}[/tex]

Fred · 18-03-2013 22:52:27

Re-

Tu n'aurais pas oublié la somme en passant????

F.

yoshi · 18-03-2013 22:54:12

Salut,

Merci Yoshi de m'avoir corrigé. En effet, dans ma formule, il y a eu des parenthèses ouvrantes en trop. Désolé. Par contre, c'est peut-être mon ordinateur, l'éditeur d'équation en ligne ne fonctionne pas sur mon ordinateur: il s'ouvre, j'écris les donnés puis je clique sur "insérer " dans le message, il se bloque!...

Derien, derien ! :-D
Je voudrais quand même te signaler que n'es pas obligé d'utiliser l'2diteue d'équation de Fred : ce n'est qu'une facilité offerte...
A preuve, ni Fred, ni freddy, ni moi ne l'utilisons : nous faisons tout à la main...
Regarde là : Page d'aide à l'emploi du Code Latex

@+

Valentin · 18-03-2013 23:00:03

Finalement [tex]\left(1-t\right)\sum^{}_{n\geq 1}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right){t}^{n}\leq \epsilon +\epsilon \,{t}^{N}\leq \epsilon ,\,quand\,N\rightarrow \infty \,\,[/tex]
Est-ce que c'est ça le résultat attendu ou pas?
Valentin

Dernière modification par Valentin (19-03-2013 15:16:29)

freddy · 18-03-2013 23:27:09

Salut,

à propos de latex, je pense que la "maîtrise" du code et la compréhension de sa logique sous-jacente est un réel "plus" quand on souhaite faire de la belle ouvrage et écrire avec grand soin formules et résultats.

Quand j'ai rencontré le site, je n'y connaissais rien et j'avoue que l'apprentissage du code est et reste assez ludique, il y a toujours des petits trucs qu'on découvre en essayant d'améliorer la présentation.

A chacun ses défauts :-)

Valentin · 19-03-2013 01:47:30

Fred a écrit :

Re-
Tu n'aurais pas oublié la somme en passant????
F.

En fait j'avais juste majoré. Sinon je trouve ça: [tex]\left(1-t\right)\sum^{}_{n\geq N}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)t^{n}\leq\left(1-t\right)\epsilon\sum^{}_{n\geq N}{t}^{n}\leq\epsilon\left(1-t\right)\frac{t^N}{1-t}[/tex]
Est-ce que c'est juste ou pas?

Dernière modification par Valentin (19-03-2013 15:12:59)

Valentin · 21-03-2013 00:38:46

Bonjour,
Sinon, j'avais pensé utiliser une autre méthode, mais je me suis bloqué dedans!
[tex]\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\rightarrow 1\,quand\,N\rightarrow \infty [/tex], qui est une suite télescopique.
Voici comment j'ai fait:
[tex]\left(1-t\right)\sum^{N}_{n=1}{a}_{n}{t}^{n}={a}_{1}{t}-{a}_{N}{t}^{N+1}+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}[/tex] et je sais que le troisième terme converge normalement, tend vers 1 quand n tend vers l'infini, le deuxième terme tend vers 0 qd N tend vers l'infini. Mais le premier terme ne tend pas vers 0. C'est là mon problème!

Fred · 21-03-2013 11:13:58

Re-

Où est le problème si le premier et le troisième terme ont la même limite????

Fred.

Valentin · 21-03-2013 12:21:36

Bonjour,
Le problème est que les trois termes doivent tendre vers 0 quand t tend vers 1 à gauche. Or, ici dans mon poste 9, le premier terme tend vers sin(1) quand t tend vers 1^-, le deuxième terme tend vers 0 quand N tend vers l'infini et le troisième terme tend vers 1 quand N tend vers l'infini: [tex]{\lim }_{N\rightarrow \infty {}^{}}\left(1-t\right)S\left(t\right)={\lim }_{N\rightarrow \infty }\left({a}_{1}t-{a}_{N}{t}^{N}+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right)={a}_{1}t+1\,[/tex]
a₁t+1 tend vers sin(1)+1 quand t tend vers 1^-, qui ne pourrait pas s'annuler. Mon raisonnement est peut-être absurde, je ne sais pas.

Valentin · 21-03-2013 12:34:58

Par contre, si je prends t=1, j'aurais : [tex]\left(1-t\right)S\left(t\right)\rightarrow {a}_{1}-{a}_{N}+{a}_{N}-{a}_{1}=0\,quand\,t\rightarrow {1}^{-}\,[/tex] là c'est gagné! je ne suis pas sûr de ce raisonnement.

Valentin · 21-03-2013 12:49:14

Hello, je crois avoir trouvé!
[tex]\left|\left(1-t\right)S\left(t\right)\right|=\left|t\left({a}_{1}-{a}_{N}{t}^{N}\right)+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right|\leq \frac{1}{\sqrt{N}}-1+\sum^{N}_{n=2}\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\,[/tex]
Fred est-ce que tu peux me rassurer, si c'est juste ce que je viens de faire. Merci!
Valentin

Fred · 21-03-2013 15:07:47

Salut,

Je pense quand même que tu vas un peu trop vite lorsque tu enlèves les valeurs absolues....

F.

Valentin · 21-03-2013 21:09:03

Bonsoir,
En effet, j'avais sauté plusieurs étapes. J'ai utilisé la propriété de l'inégalité triangulaire puis j'ai majoré les sin : [tex]\left|\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\right|\leq \frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
et j'ai fait pareil pour le premier terme de la valeur absolue!

Fred · 21-03-2013 21:22:46

J'ai bien compris que tu avais fait cela, mais quand tu utilises l'inégalité triangulaire, tu obtiens
[tex]\frac 1{\sqrt N}-1[/tex], et pas l'opposé....

F.

Valentin · 21-03-2013 23:44:16

Là, ça ne marche plus, le résultat devient contradictoire!

Valentin · 22-03-2013 00:10:11

je pense que la meilleure solution serait plutôt le post 12!

Fred · 22-03-2013 10:11:37

Le problème, c'est que tu as une double limite, à la fois en N et en t, et il faut faire les choses de façon très précautionneuse.
Si tu veux faire comme tu le décris, il faut utiliser un théorème du cours, qui permet de permuter une limite avec le symbole
série quand on a convergence normale (ou uniforme).

Tu n'aimes pas la méthode initiée au post 2?

Valentin · 22-03-2013 11:38:24

Bonjour Fred,
La méthode que tu m'as proposée au post 2 est très bonne, seulement dans mon exercice il m'était demandé de m'aider de la convergence normale de [tex]\sum^{\infty }_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}pour\,t\in \left[-1,1\right]\,[/tex]
La convergence normale m'est donnée: [tex]\sum^{\infty }_{n=2}\left\|\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right\|=\sum^{N}_{n=2}{\sup }_{t\in \left[-1,1\right]}\left|\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right|=\sum^{N}_{n=2}\left|\sin \frac{1}{\sqrt{n}}-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\right|\leq \sum^{N}_{n=2}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\,[/tex]
La dernière inégalité tend vers 1 quand N tend vers l'infini. Donc la série converge normalement sur [-1,1].
Je voulais donc utiliser ce résultat pour (1-t)S(t) quand t tend vers 1 à gauche, je n'y suis pas arrivé.
Comme tu me le proposes, on peut utiliser le théorème d'interversion de limite, d'abord en t tend vers 1^- puis quand N tend vers l'infini, je ne suis pas arrivé.

Fred · 22-03-2013 12:59:03

Le théorème d'interversion des limites te dit ici que
[tex]\lim_{t\to 1}\sum_{n=2}^{+\infty}(a_n-a_{n-1})t^n= \sum_{n\geq 2}\lim_{t\to 1}(a_n-a_{n-1})t^n=\sum_{n\geq 2}(a_n-a_{n-1})[/tex].

Fred.

Valentin · 22-03-2013 13:48:38

[tex]{\lim }_{t\rightarrow {1}^{-}}\left(1-t\right)S\left(t\right)={\lim }_{t\rightarrow {1}^{-}}\left(t{a}_{1}-{a}_{N}{t}^{N}\right)+{\lim }_{t\rightarrow {1}^{-}}\left(\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right)={a}_{1}-{a}_{N}+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right)[/tex]
Ce qui donne alors le résultat de mon post 9! ça y est, maintenant je suis rassuré. Merci beaucoup Fred pour le temps que tu m'as consacré.
Valentin

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 18-03-2013 13:36:15

Somme partielle

#2 18-03-2013 20:31:28

Re : Somme partielle

#3 18-03-2013 22:45:01

Re : Somme partielle

#4 18-03-2013 22:52:27

Re : Somme partielle

#5 18-03-2013 22:54:12

Re : Somme partielle

#6 18-03-2013 23:00:03

Re : Somme partielle

#7 18-03-2013 23:27:09

Re : Somme partielle

#8 19-03-2013 01:47:30

Re : Somme partielle

#9 21-03-2013 00:38:46

Re : Somme partielle

#10 21-03-2013 11:13:58

Re : Somme partielle

#11 21-03-2013 12:21:36

Re : Somme partielle

#12 21-03-2013 12:34:58

Re : Somme partielle

#13 21-03-2013 12:49:14

Re : Somme partielle

#14 21-03-2013 15:07:47

Re : Somme partielle

#15 21-03-2013 21:09:03

Re : Somme partielle

#16 21-03-2013 21:22:46

Re : Somme partielle

#17 21-03-2013 23:44:16

Re : Somme partielle

#18 22-03-2013 00:10:11

Re : Somme partielle

#19 22-03-2013 10:11:37

Re : Somme partielle

#20 22-03-2013 11:38:24

Re : Somme partielle

#21 22-03-2013 12:59:03

Re : Somme partielle

#22 22-03-2013 13:48:38

Re : Somme partielle

Pied de page des forums