Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Probas ESCP EST 2009 : discussion de nayromi supprimée par erreur

Bonjour,

J'ai supprimé trop vite la discussion ouverte dans Entraide Supérieur pensant qu'il y avait doublon.
Je m'aperçois que c'était une erreur et que c'est le post d'origine qui n'était pas à sa place...
Au temps pour moi, je lui présente toutes mes excuses.

salut,

j'ai besoin de corrigé de l'exercice 2 du concours l'escp ect 2009 : http://www.concours-bce.com/pdf/sujets/ … -Sujet.pdf
si quelqu'un a une proposition,je souhaite qu'elle la publie..

merci d'avance.

Merci pour elle

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Probas ESCP EST 2009 : discussion de nayromi supprimée par erreur

Bonjour,

Le corrigé doit se trouver dans les annales vendues par Amazon :

Mathématiques en ECE 2009 à 2012 24 Annales Corrigés Concours HEC ESSEC ESCP-EAP EM-Lyon EDHEC Ecricome de Habib Joulak et Hédi Joulak (18 septembre 2012)

Sinon il faudrait s'y coller en rédigeant un mini-corrigé pour nayromi : Le meilleur pour cet exercice serait surement freddy

Cordialement

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probas ESCP EST 2009 : discussion de nayromi supprimée par erreur

Bonsoir,

pour les probabilités, la correction me semble être la suivante.

1 - a) X prend toutes les valeurs entiers de [tex]\mathcal{N}[/tex] puisque si on "tire" l'urne numéro 2, X suit une loi géométrique de paramètre 1/2.

1 - b) Si on choisit dans l'urne n°1 qui contient deux boules blanches, [tex]X=1[/tex] est un événement certain, donc [tex] P_{U_1}(X=1)=1[/tex]

Si on choisit dans l'urne n° 2, la probabilité de tirer une blanche au premier tirage est égale à 1/2 (1 blanche sur 2 boules), donc [tex]P_{U_2}(X=1)=\frac{1}{2} [/tex]

Enfin, si on choisit dans l'urne n° 3 , l'événement [tex]X= 1[/tex] est impossible, puisque l'urne ne contient aucune blanche Donc [tex]P_{U_3}(X=1)=0[/tex].

1 - c) Le théorème des probabilités totales énonce [tex]P(X=1)=P_{U_1}(X=1)\times P(U_1)+P_{U_2}(X=1)\times P(U_2)+P_{U_3}(X=1)\times P(U_3)=\frac13\times(1+\frac12+0)=\frac12[/tex]

2 - a)  Puisque la première urne contient deux boules blanches, X sera toujours égal à 1. Donc l'événement [tex]( X = j \ge 2)[/tex] est impossible, et donc de probabilité nulle.

Par ailleurs, puisqu'il n'y a aucune boule blanche dans l'urne n° 3, X sera toujours égal à 0. Donc l'événement [tex]( X = j \ge 2)[/tex] est impossible, et donc de probabilité nulle.

2 - b) Comme indiqué, pour l'urne n° 2, X suit une loi géométrique de paramètre 1/2. Par définition de cette loi, pour tout [tex]j \ge 1[/tex] on a [tex]P(X=j) =(\frac12)^{j-1}\times \frac12=(\frac12)^j[/tex]

2 - c) En reprenant les résultats ci-dessus combinés au théorème des probabilités totales, on a bien [tex]\forall j \ge 2,\, P(X=j)=\frac13 \times (\frac12)^j[/tex]

Dernière modification par freddy (28-02-2013 19:12:38)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probas ESCP EST 2009 : discussion de nayromi supprimée par erreur

(suite)

3 Par définition d'une distribution de probabilité sur X, on doit avoir [tex] \sum_{j=0}^{+\infty} P(X=j)=1[/tex]

On déduit donc que [tex]P(X=0)=1 - \sum_{j=1}^{+\infty} P(X=j) =1- \frac12-\frac13\times \frac{(\frac12)^2}{1-\frac12}=\frac13[/tex]

Interprétation : La vie est bien faite ! En effet, la probabilité que [tex]X=0[/tex] est bien égale à la probabilité de "choisir au hasard" l'urne n° 1.

4 par définition, [tex]E(X)=\sum_{j=0}^{+\infty} j\times P(X=j)=1\times P(X=1)+\sum_{j=2}^{+\infty}j\times P(X=j)= \frac12+\frac13\sum_{j=2}^{+\infty}j\times \left(\frac12\right)^j[/tex]

Puisqu'on sait que pour [tex]0 \lt x \lt 1[/tex],[tex] \frac{1}{x}\times \sum_{k=2}^{+\infty}k\times x^{k}=\frac{1}{(1-x)^2}-1[/tex], on en déduit que [tex]\sum_{j=2}^{+\infty}j\times \left(\frac12\right)^j=\frac32[/tex] et donc que l'espérance mathématique de X existe.

On a [tex]E(X)=\frac12+\frac13\times \frac32=1[/tex]

Dernière modification par freddy (28-02-2013 19:52:07)