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Valentin

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transformation affine

Bonjour à tous,
J'ai une équation qui me fait tourner en rond.
Déterminer s'il existe une transformation affine bijective de l'espace affine R⁴ qui transforme les points A(0,1,1,0), B(1,3,2,2), C(2,2,3,1), A₁(-1,1,-1,1), B₁(0,4,0,4), C₁(2,2,2,2), l est la droite passant par (0,0,2,-1) et (0,2,2,1), l₁ est la droite passant par (-1,2,0,3) et (0,-3,1,-2).
Si quelqu'un voudrait bien m'aider, merci d'avance!
Valentin

Fred

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Re : transformation affine

Salut,

Je ne suis pas sûr de bien avoir compris ton énoncé, mais je vais essayer. Au départ, tu as
5 points : A,B,C et les deux points de la droite, appelons-les D et E.
Tu choisis A "comme point de base" et tu as 4 vecteurs [tex]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}[/tex].
A l'arrivée tu as 5 points, disons A1,B1,C1,D1,E1.
Tu auras une transformation affine bijective qui envoie A sur A1, B sur B1, etc....
si les familles de vecteurs [tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})[/tex]
et [tex](\overrightarrow{A1B1},\overrightarrow{A1C1},\overrightarrow{A1D1},\overrightarrow{A1E1})[/tex]
forment tous deux une base de l'espace [tex]\mathbb R^4[/tex].

F.

Valentin

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Re : transformation affine

[tex]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\,forme\,une\,famille\,libre\,et\,\left(\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}\right)\,est\,libre[/tex]
Mon éditeur d'équation ne fonctionne plus.
Coordonnées de vecteurs:
AB=(1,2,1,2)
AC=(2,1,2,1)
AD=(0,-1,1,-1)
AE=(0,1,1,1)
A₁B₁=(1,3,1,3) ; A₁C₁=(3,1,3,1) ; A₁D₁=(0,1,1,2)
A₁E₁=(1,-4,2,-3).
Je ne vois pas trop en quoi est -ce une transformation affine !

yoshi

Modo Ferox

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Re : transformation affine

Bonjour,

Mon éditeur d'équation ne fonctionne plus.

Ce n'est qu'une facilité offerte par Fred, mais tu n'en as pas besoin :
Voir tuto pour Code LateX

@+

Fred

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Re : transformation affine

Bonjour,

  Tu sais qu'il existe une (unique) application linéaire qui envoie une base sur une famille de vecteurs.
C'est un isomorphisme ssi la famille à l'arrivée est une base.
Donc on définit d'abord la partie vectorielle de ton application affine en envoyant [tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})[/tex] sur  [tex](\overrightarrow{A1B1},\overrightarrow{A1C1},\overrightarrow{A1D1},\overrightarrow{A1E1})[/tex],
puis on ajoute la translation de vecteur [tex]\overrightarrow{AA1}[/tex].

F.

Valentin

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Re : transformation affine

Bonsoir,
Est-ce parce qu'une famille de vecteurs est libre qu'il existe une transformation affine? Si j'arrive à prouver que la famille de vecteurs est libre et forme une base, alors je peux trouver une application affine! Je trouve une base de départ et une base d'arrivée. Mais, ici dans ce problème,  [tex]\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\,et\,\left(\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}\right)forment\,deux\,bases\,de\,{\mathbb{R}}^{\mathbb{3}}[/tex] Est-ce que ces deux bases suffisent pour trouver une application affine?
Valentin

Fred

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Re : transformation affine

Non, il te faut des bases de [tex]\mathbb R^4[/tex], non de [tex]\mathbb R^3[/tex].

Valentin

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Re : transformation affine

Alors, ici, ça ne marche pas, puisque les 4 vecteurs formés par les points A,B,C,D,E et A1,B1,C1,D1,E1 sont liés.
Je poste ici, la correction du prof:
Les points A,B,C et L=(0,2,2,1) appartient à la droite l sont affinement indépendants ainsi que les A1,B1,C1 et L1=(-1,2,0,3) appartient à la droite l1. Par conséquent, il existe une transformation affine bijective (non unique)  [tex]f:{\mathbb{R}}^{\mathbb{4}}\rightarrow {\mathbb{R}}^{\mathbb{4}}[/tex] transformant A,B,C,L en A1,B1,C1,L1. On démontre que f(l)=l1. En effet, les droites f(l) et l1 ont un point commun, à savoir L1. Vu que le vecteur AC-2AB est un vecteur directeur de la droite l, le vecteur A1C1-2A1B1 est un vecteur directeur de la droite l1 ce qui montre que f(l)=l1.
Je ne comprends pas cette réponse. "Affinement indépendants" revient à dire linéairement indépendants: la famille de 4 vecteurs est libre? Or, d'après mes calculs, (à moins que je me sois trompé), la famille de ces 4 vecteurs est liée.
Valentin

Fred

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Re : transformation affine

Salut,

  Non, les 4 points A,B,C et L définissent simplement 3 vecteurs.
Cette famille est une famille libre, et tu peux toujours trouver une application linéaire bijective de [tex]\mathbb R^3[/tex]
qui envoie une famille de 3 vecteurs libres sur une famille de 3 vecteurs libres. Cette application n'est plus unique, car
il faut compléter à chacune des deux familles en une base.
  Il se passe ici un truc miraculeux, c'est que peu importe l'application linéaire que tu choisis, la droite I est envoyée sur I1.

Fred.

Valentin

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Re : transformation affine

Bonjour,
à partir de ces 4 points, j'ai 3 vecteurs: AB, AC, AL. J'exprime le vecteur AL de façon unique :  [tex]\overrightarrow{AL}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}[/tex] (j'ai oublié (2/3)*AC) qui est un vecteur directeur de la droite l. De même aussi pour l'image A1L1=(4/3)A1B1-(2/3)A1C1, vecteur directeur de f(l) ou de la droite l1. D'où f(l)=l1!

Valentin

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Re : transformation affine

Finalement ce que je n'avais pas bien compris était : comment trouver le vecteur directeur d'une droite. Ici, si la droite est l, soit D et E appartenant à la droite l, le vecteur   [tex]\overrightarrow{DE}=\left(0,2,0,2\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex] est un vecteur directeur de la droite l, mais  il peut y avoir une infinité de vecteurs directeurs de la droite l de même aussi pour le vecteur directeur de l1...
Valentin