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zarga

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intégrale

Salut
soit [tex] U = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y \geq x^2+x\}[/tex] Pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2); I = \displaystyle\int\displaystyle\int_U x \varphi(x,y) dx dy[/tex]
j'ai des problèmes pour calculer I. Merci pour l'aide.

Fred

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Re : intégrale

Re-

  Calculer I, calculer I.... Si on ne sait pas ce qu'est [tex]\varphi[/tex], on ne va pas bien pouvoir calculer I.
J'imagine que tu souhaites faire quelque chose de précis après....

F.

zarga

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Re : intégrale

Oui, c'est pour prouver que [tex]T[/tex] est une distribution. Donc, on commence par prouver que [tex]T[/tex] est finie.
Il y'a un moyen de montrer qu'elle est finie?
Merci.

Fred

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Re : intégrale

Comme [tex]\varphi[/tex] est à support compact, on intègre sur un compact une fonction bornée....
(pour démontrer que [tex]I[/tex] est finie, on s'en fout de [tex]U[/tex]....).

zargaamallogé

Invité

Re : intégrale

le compact qu'on choisit c'est [tex] [-a,a] \times [a^2+a,b]?[/tex] puisque [tex]x \in [-a,a][/tex] et [tex]y[/tex] doit etre supérieur ou égale à [tex]x^2+x [/tex]

Fred

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Re : intégrale

Le compact, c'est juste le support de ta fonction, intersectée avec U.

F.

zarga

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Re : intégrale

Si le support de [tex]\varphi[/tex] est vide, dans ce cas là l'intersection nous donne [tex]U[/tex] et revient à la case départ!
ou bien si l'intersection est un point (x,y) ce n'est plus possible d'intégrer!
merci bien.

Dernière modification par zarga (05-02-2013 12:47:54)

Fred

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Re : intégrale

Si le support est vide, l'intersection est vide! (et l'intégrale est nulle puisque la fonction est nulle!)
On peut intégrer sur un point. Par rapport à la mesure de Lebesgue, l'intégrale sera nulle!

F.

zarga

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Re : intégrale

Soit [tex]K = supp \varphi \cap U = [-a,a] \times [c,d][/tex] avec [tex]a> 0, c > 0, d > 0.[/tex]
[tex]\langle T , \varphi \rangle = \displaystyle\int\displaystyle\int_K x \varphi(x,y) dx dy  \leq ||\varphi||_{\infty} \displaystyle\int \displaystyle\int_K x dx dy = C ||\varphi||_{\infty}.[/tex]
donc [tex]T[/tex] est bien définie.

[tex]T[/tex] est linéaire par linéarité de l'intégrale double.

pour la continuité, soit [tex]C[/tex] un compact, et soit [tex] \varphi \in \mathcal{D}_C(\mathbb{R}^2).[/tex] On fait comme pour montrer que T est bien définie, et on trouve que T est continue.
Donc T est une distribution.

Question 1: est-ce qu'on peut dire directement que puisque [tex]\varphi[/tex] est à support compact, et puisqu'on intègre sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex], alors son support doit etre inclus dans [tex]U[/tex] sinon, l'intégrale est nulle. Donc on commence par: soit [tex]K[/tex] un compact qui contient le support de [tex]\varphi[/tex] et en enchaîne.????

Question 2: comment définir le support de la distribution T?
merci bien

Dernière modification par zarga (05-02-2013 13:59:16)

zarga

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Re : intégrale

Salut
comment déterminer le support de [tex]T?[/tex]
Merci bien!