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martin

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distribution

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. Soit [tex](x_n)[/tex] une suite réelle qui tend vers [tex]+\infty.[/tex] On considère l'application [tex]T: \mathcal{D}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{C}[/tex] définie par [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n).[/tex]

La question est: prouver que [tex]T[/tex] est une application. est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})?[/tex]
Ma solution est; Pour voir que [tex]T[/tex] est une application, il faut voir si la série converge.
[tex](\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n = + \infty) \Leftrightarrow (\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \Rightarrow x_n > A)[/tex]
ce qui veut dire qu'à partir d'un certain rang [tex]n_0,[/tex] [tex]x_n[/tex] devient plus grand que n'importe que [tex]A > 0[/tex] et donc, il sort du support de $\varphi$ qui est une fonction test. Donc [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)[/tex] qui est finie, donc elle converge. [tex]T[/tex] est donc une application.

Pour répondre à la question: est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}(\mathbb{R})?[/tex]

[tex]T[/tex] est linéaire,

pour la continuité de [tex]T.[/tex] Soit [tex]K[/tex] un compact de [tex]\mathbb{R},[/tex] et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\sum_{n=0}^{+ \infty} \varphi(x_n)| = |\sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)| \leq (n_0-1) \sup_{x \in K} \varphi(x) \leq C P_{K,0}.[/tex]
On conclut que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}).[/tex]

Mais j'ai trouvé une autre version sur la continuité, qui m'intrigue. La voici: soit $K$ un compact et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_{K}(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\langle \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n)| \geq \inf_{x \in K} \varphi(x) \rightarrow + \infty[/tex]
donc [tex]T[/tex] n'est pas continue, ce qui veut dire que [tex]T[/tex] n'est pas une distribution sur [tex]\mathbb{R}.[/tex]
Qu'en pensez-vous?
Merci.

Dernière modification par martin (04-02-2013 22:22:08)

Fred

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Re : distribution

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. Soit [tex](x_n)[/tex] une suite réelle qui tend vers [tex]+\infty.[/tex] On considère l'application [tex]T: \mathcal{D}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{C}[/tex] définie par [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n).[/tex]

La question est: prouver que [tex]T[/tex] est une application. est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})?[/tex]
Ma solution est; Pour voir que [tex]T[/tex] est une application, il faut voir si la série converge.
[tex](\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n = + \infty) \Leftrightarrow (\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \Rightarrow x_n > A)[/tex]
ce qui veut dire qu'à partir d'un certain rang [tex]n_0,[/tex] [tex]x_n[/tex] devient plus grand que n'importe que [tex]A > 0[/tex] et donc, il sort du support de $\varphi$ qui est une fonction test. Donc [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)[/tex] qui est finie, donc elle converge. [tex]T[/tex] est donc une application.

Pour répondre à la question: est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}(\mathbb{R})?[/tex]

[tex]T[/tex] est linéaire,

pour la continuité de [tex]T.[/tex] Soit [tex]K[/tex] un compact de [tex]\mathbb{R},[/tex] et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\sum_{n=0}^{+ \infty} \varphi(x_n)| = |\sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)| \leq (n_0-1) \sup_{x \in K} \varphi(x) \leq C P_{K,0}.[/tex]

Cela me semble correct, mais ce serait encore plus clair si tu disais quel est le lien entre [tex]n_0[/tex] et le compact [tex]K[/tex] (la constante C que tu dois obtenir ne peut pas dépendre de [tex]\varphi\in \mathcal D_K(\mathbb R)[/tex].

On conclut que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}).[/tex]

Mais j'ai trouvé une autre version sur la continuité, qui m'intrigue. La voici: soit $K$ un compact et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_{K}(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\langle \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n)| \geq \inf_{x \in K} \varphi(x) \rightarrow + \infty[/tex]

Là, je ne comprends pas du tout la fin, mais de toute façon, T est continue!