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#1 31-01-2013 18:40:48
- vrouvrou
- Membre
- Inscription : 20-09-2012
- Messages : 311
Parties bornées d'un espace de Banach
Bonsoir ,
j'ai besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait.
Soit [tex]G[/tex] un espace de Banach
1)soit [tex]B[/tex] un sous ensemble de [tex]G[/tex],on suppose que [tex]\forall f,f \in G' f(B)=\displaystyle\bigcup_{x\in B} f(x)[/tex] est borné dans [tex]\mathbb{R}[/tex]
montrer que [tex]B[/tex] est borné dans [tex]G[/tex].
2)soit [tex]B'[/tex] un sous ensemble de [tex]G'[/tex],on suppose que [tex]<B',x>=\displaystyle\bigcup_{f\in B'} <f,x>[/tex] est borné [tex]\forall x \in G[/tex]
montrer que [tex]B'[/tex] est borné dans [tex]G'[/tex]
merci.
Dernière modification par vrouvrou (31-01-2013 21:22:01)
Hors ligne
#2 31-01-2013 21:02:36
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Parties bornées d'un espace de Banach
Salut,
Je t'explique pour 1), pour 2), c'est relativement similaire.
Pour [tex]x\in B[/tex], note [tex]T_x(f)=f(x)[/tex], [tex]T_x\in (G')'[/tex]
Tu as du démontré dans ton cours que [tex]\|T_x\|=\|x\|[/tex].
L'hypothèse te dit que [tex]\forall f\in G',\ \sup_{x\in B}|T_x(f)|<+\infty [/tex].
Par le théorème de Banach-Steinhaus, on en déduit que
[tex]\sup_{x\in B} \|T_x\|<+\infty [/tex]
et donc que [tex]B[/tex] est borné dans [tex]G[/tex].
F.
---------------
Vrouvrou : Là, tu fais quelque chose qu'il ne faut JAMAIS faire sur un forum.
Je suis en train de répondre à ta question, et tu changes complètement l'énoncé de l'exercice.
Comment veux-tu qu'on s'y retrouve?
Pour archive, je te demande de remettre ton message initial en tête de cette conversation,
et éventuellement de poster ton nouvel exercice dans une autre discussion.
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#4 31-01-2013 21:18:46
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Parties bornées d'un espace de Banach
Je voudrais quand même que tu changes ton premier message, sinon ce fil n'a plus de sens.
De plus, je me suis cassé le c... à écrire une solution, autant que cela puisse servir à qqn d'autre.
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