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#2 28-01-2013 10:47:05
- Fred
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Re : équation-distribution
Bonjour,
Il y a la solution dans la base de données d'exercices :
http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse
Regarde la feuille consacrée aux distributions, support et opérations, exercice 8.
F.
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#3 28-01-2013 11:09:43
- martin
- Membre
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Re : équation-distribution
[tex]\langle T , \varphi' \rangle = 0[/tex] pour tout [tex] \varphi \in \mathcal{D}(\R).[/tex]
donc [tex]T[/tex] s'annulle appliquée à des fonctions testes qui sont la dérivée d'une fonction test. On note ces fonctions test [tex]\varphi_0.[/tex]
Pourquoi ces fonctions test sont caractérisée par [tex] \displaystyle\int_{\R} \varphi '(x) dx = 0 [/tex]?
et comment écrire une décomposition de [tex]\mathcal{D}[/tex] en utilisant [tex]\varphi_0?[/tex]
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#4 28-01-2013 11:47:37
- martin
- Membre
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Re : équation-distribution
Je veux dire que pourquoi la primitive [tex]\varphi'[/tex] d' une fonction test [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex] est elle aussi une fonction test que si [tex] \displaystyle\int_{R} \varphi = 0?[/tex]
Merci d'avance.
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#5 28-01-2013 13:31:49
- Fred
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Re : équation-distribution
Re,
Si [tex]\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] est la dérivée de [tex]\psi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex],
alors [tex]\int_{\mathbb R}\varphi(x)dx=\int_{\mathbb R}\psi'(x)dx=\psi(+\infty)-\psi(-\infty)=0[/tex].
Réciproquement, si [tex]\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)[/tex] vérifie [tex]\int_{\mathbb R}\varphi(x)dx=0[/tex], alors
on peut poser [tex]\psi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt[/tex] et vérifier que c'est une fonction test vérifiant [tex]\psi'=\varphi[/tex].
F.
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#6 28-01-2013 15:31:13
- martin
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Re : équation-distribution
pour trouver la solution, il faut savoir calculer les solutions de l'équation [tex](x T)= 0[/tex] et je ne sais pas comment montrer qu'elle sont de la forme [tex]c_2 \delta.[/tex] en partant du fait que [tex]\langle (xT), \varphi \rangle = \langle T , x \varphi' \rangle[/tex]
Mais ces fonctions tests ne couvrent pas tout [tex]\mathcal{D}.[/tex] Après, comment on fait pour couvrir] tout [tex]\mathcal{D}?[/tex] C'est ca que je cherche depuis des jours
Merci d'avance.
Dernière modification par martin (28-01-2013 15:41:33)
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#7 28-01-2013 15:41:04
- Fred
- Administrateur
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Re : équation-distribution
Tu prends [tex]\varphi_0[/tex] une fonction test d'intégrale sur [tex]\mathbb R[/tex] égale à 1.
Je vais noter [tex]S=(xT)'[/tex] et [tex]C=\langle S,\varphi_0\rangle [/tex]
Si [tex]\varphi[/tex] est n'importe quelle fonction test, pose
[tex]\psi= \varphi-\left(\int_{\mathbb R}\varphi(x)dx\right) \varphi_0[/tex]
Alors [tex]\int_{\mathbb R}\psi(x)dx=0[/tex], [tex]\psi[/tex] est la dérivée d'une fonction test et donc [tex]\langle S,\psi\rangle=0.[/tex]
Tu dois alors pouvoir conclure....
F.
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#8 28-01-2013 15:43:08
- martin
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Re : équation-distribution
Alors dérnières questions svp:
1- pourquoi ce choix pour $\varphi_0?$ on choisit en fonction de quoi?
2- pour trouver la solution de [tex](x T)= 0[/tex] et je ne sais pas comment montrer qu'elle sont de la forme [tex]c_2 \delta.[/tex] en partant du fait que [tex]\langle (xT), \varphi \rangle = \langle T , x \varphi \rangle[/tex]
Mais ces fonctions tests ne couvrent pas tout [tex]\mathcal{D}.[/tex] Après, comment on fait pour couvrir] tout [tex]\mathcal{D}?[/tex]
3- je cherche une méthode à suivre pour pouvoir couvrir tout [tex]\mathcal{D}[/tex].
Merci d'avance.
Dernière modification par martin (28-01-2013 15:45:14)
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#9 28-01-2013 15:53:14
- Fred
- Administrateur
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Re : équation-distribution
Je pense que tu vas trop vite (d'ailleurs, il s'est écoulé deux minutes entre mon message et le tien!!!!)
D'abord, il me semble que tu veux résoudre [tex](xT)'=0[/tex] et non [tex]xT=0[/tex]
Et une fois, avec mes notations, qu'on a prouvé que [tex]\langle S,\psi\rangle=0[/tex], il est quand même assez facile
de calculer [tex]\langle S,\varphi\rangle[/tex] non????
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#10 28-01-2013 18:20:14
- martin
- Membre
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Re : équation-distribution
En fait ma question précise est: les solutions de l'équation [tex]x T = 0[/tex] sont de la forme [tex]c \delta.[/tex] Mais comment le prouver?
Si on part du fait que [tex]x T = 0 \Leftrightarrow \langle T , x \varphi \rangle= 0[/tex] pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R),[/tex] il en résulte que [tex]T[/tex] est nulle sur toute fonction [tex]\chi[/tex] de la forme [tex]\chi(x)= x \varphi(x)[/tex] avec [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R).[/tex] Mais, ces fonctions [tex]\chi[/tex] ne remplissent pas tout [tex]\mathcal{D};[/tex] après, comment on fait? et comment on peut écrire toute fonction test en fonction de [tex]\chi?[/tex]
Merci d'avance.
Dernière modification par martin (28-01-2013 18:22:45)
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#11 28-01-2013 18:34:42
- Fred
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Re : équation-distribution
Il faut s'y prendre un peu autrement. Tu fixes [tex]\psi[/tex] une fonction test vérifiant [tex]\psi(0)=1[/tex]
Alors, si [tex]\varphi[/tex] est une autre fonction test, on peut poser
[tex]\chi(x)=\varphi(x)-\varphi(0)\psi(x)[/tex]
Alors, [tex]\chi(0)=0[/tex] et donc [tex]\chi(x)=x\theta(x)[/tex] avec [tex]\theta[/tex] une autre fonction test.
Donc tu connais [tex]\langle xT,\chi\rangle[/tex] et tu pourras retrouver [tex]\langle xT,\varphi\rangle [/tex]
en fonction de [tex]\varphi(0)[/tex] et d'une constante...
F.
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