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Valentin

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Suites et séries numériques

Bonsoir à tous,
J'ai un problème qui me pose problème.
Soit (u_n)_n>0 une suite décroissante de nombres réels positifs.
Pour tout entier p>=0, démontrer les inégalités:
2^pu₍₂₎^p+1<=somme(u_k)<=2^pu₂^p
avec k=[2^p,2^p+1-1]
D'avance merci!
(désolé pour les codes, mon java ne fonctionne pas!)

MOHAMED_AIT_LH

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Re : Suites et séries numériques

Salut,
Je réécris la double inégalité comme je la comprends, et je t'attends , Valentin, de confirmer si c'est ce que tu voulais dire:
[tex] 2^p u_{2^{p+1}}  \leq  \sum_{k=2^p}^{2^{p+1}-1} u_k \leq 2^p u_{2^p}[/tex]
Si c'est le cas c'est simple : tu as en général pour  des  nombres réels
[tex]x_1, \cdots ,x_n  ; (n \in {\mathbb N}^* )[/tex], on a : [tex]n \min_{1 \leq  i \leq n} (x_i)  \leq  \sum_{i=1}^n x_i \leq n \max_{1 \leq i \leq n} x_i[/tex]

Il en résulte  que  si  [tex](u_n)[/tex]  est  une  suite réelle décroissante alors  pour  tout [tex]m[/tex]  et  [tex]n[/tex]  entiers naturels tel que  [tex]m  \leq  n[/tex] , on a : [tex] (n-m+1) u_n \leq \sum_{i=m}^n u_i  \leq (n-m+1) u_m[/tex]
Ton ca ne correspond pas à cela 100% , mais  puisque  [tex]u_{n+1} \leq  u_n[/tex], on a à fortiori : [tex] (n-m+1) u_{n+1} \leq \sum_{i=m}^n u_i  \leq (n-m+1) u_m[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (07-12-2012 01:06:35)

Valentin

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Re : Suites et séries numériques

Salut Mohamed,
Oui, la double inégalité que tu as réécrit est exacte, merci beaucoup. Je vois que tu as fait un changement de variable : m=2^p et n=2m-1 et d'après l'hypothèse u_n+1<u_n, l'inégalité est vérifiée. Merci.

Dernière modification par Valentin (10-12-2012 17:58:12)