Forum de mathématiques - Bibm@th.net

benshalom

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majoré minoré

soit I une partie non vide de R telle que pour tout couple (x,y) d'elements de I verifiant x inferieur à y,l'intervalle ouvert ]x,y[ soit contenue ds I
1)demontrer que si I n'est ni majoré ni minoré alors I=R
2)on suppose I bornée.demontrer que I est soit un intervalle fermé,soit un intervalle ouvert,soit un semi-segment (de la forme[a,b[ou ]a,b]).
merci

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : majoré minoré

Salut,
Il vaut mieux de commencer par un petit 'Salut' (voir régles du forum) et de parler un peu des problèmes que tu as  rencontrés lors du traitement de ces questions.

Voici quelques indications :

1) Supposons que [tex]I[/tex]  n'est  ni  majoré  ni  minoré . Tu  veux  montrer  que  [tex]I = {\mathbb R}[/tex] , pour cela  tu  prends  [tex]x \in {\mathbb R}[/tex] et essaye  de  construire  deux  éléments  [tex]a_x[/tex]  et   [tex]b_x[/tex]  de  [tex] I[/tex]  tel  que  [tex]a_x < x  <  b_x[/tex].

2) Si  [tex]I[/tex] est  borné , or  il  est  non  vide donc  il  admet  une  borne  inférieure  [tex]\alpha [/tex] et  une  borne  supérieure  [tex]\beta[/tex] :  tu as  tout  pour  terminer.

benshalom

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Re : majoré minoré

Bonjour,
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merci beaucoup.j'ai pris note pour la salutation.
voici mon raisonnement,je ne sais pas s'il est logique: par absurde supposons I different de R.alors il existe x appartenant a R privé de I.I n'etant pas minoré donc il existe y appartenant à I tel que y inferieur a x et comme I n'est pas majoré il existe y1 appartenant à I telque y1 superieur à x.or d'après la propriété enoncé, l'intervalle [y,y1] est inclus dans I;mais x contient [y,y1] donc x est dans I ce qui est une contradiction.
merci bcp

Dernière modification par yoshi (02-12-2012 08:10:56)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : majoré minoré

Salut,
Je t'en prie benshalom!
Ton raisonnement est  correct mais  tu  n'avais  pas  besoin de  raisonner  par  l'absurde. Si  x \in R  tu  prouve  directement  que  [tex]x \in I[/tex]. Je  précise  que  ta  demo  est  juste et  qu'il  n'y a rein  à  y  reprocher.

Pour  la  deuxiéme  question  tu  prouve  que   [tex]] \alpha, \beta [   \subset  I   \subset  [\alpha, \beta][/tex], comme  ça  tu  aura  forcément  [tex]I =[/tex] l'un des  intervalles  cités  dans  ton  premier  message.

benshalom

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Re : majoré minoré

salut.
je ne sais pa comment m'y prendre pour demontrer la deuxieme question; svp aidez moi merci

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : majoré minoré

Salut
@benshalom:
J'avais  répondu à  ton e-mail  hier:
Consulte  le  lien ci-dessous:
http://www.marocprepa.com/temp/benshalom.php