Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nicopetitfidbak

Invité

Série de Fourier

Bonjour,
Je bloque sur un exercice sur les séries de Fourier.
J'ai f : R-->R, une fonction 2pi périodique définie sur ]-pi;pi] par f(x)=-pi-x si x€]-pi;0] et par f(x)=pi-x si x€]0:pi]

1) Calculer la série de Fourier de f
J'ai dit que la fonction était impaire et donc j'obtiens a0=pi et bn=2/n

2) En déduire les sommes :

Pour la première je trouve (pi)²/6 ; et pour la suivante je ne sais pas du tout comment démarrer... Si quelqu'un pourrait m'éclairer ce serait sympa !!
Merci d'avance ;)

--------------------------------
[Edit]@yoshi
1. Pourquoi une si grande image pour deux petites formules ?
2. Pourquoi une image quand on dispose du Code LateX ?
    La preuve :
   [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/tex]  et   [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}[/tex]
   
      Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (30-11-2012 15:46:32)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Série de Fourier

Essaie d'appliquer le théorème de Dirichlet en pi/2....
(et auparavant, essaie d'exprimer sin(npi/2) en fonction de n...

F.

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

Oui je sais qu'il faut utiliser ce théorème mais je ne comprends pas du tout comment l'appliquer.. Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer en détail ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Série de Fourier

Te faire les calculs en détails, non, les suivre avec toi, oui.
Ta fonction f est C^1 par morceaux, et continue en pi/2. Tu peux donc écrire qu'en pi/2, f est somme de sa série de Fourier.
Qu'est-ce que l'on obtient?

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

A priori, pour bn je devrais avoir 2*(-1)^n/n alors que j'ai 2/n.
L'intégration par partie je la fais directement avec u=(pi-x) et v'=sin(nx) ? Ou je décompose mon intégrale en intégrale de pi*sin(nx) + intégrale de -x*sin(nx) ?

----------------------------
[EDit]by Yoshi
Veux-tu bien te pencher sur le Code LateX s'il te plaît ?
Avec ce langage :
2*(-1)^n/n  devient --> \frac{2 \times (-1)^n}{2} ---> que je sélectionne. Puis je clique sur l'icône tex à gauche de la barre d'outil  des messages et j'obtiens :[tex]\frac{2 \times (-1)^n}{n}[/tex]

De même :
u=(pi-x) et v'=sin(nx)  --> s'écrit u = \pi - x  et v' = \sin(nx) -->  [tex]u = \pi - x[/tex]  et [tex]v' = \sin(nx)[/tex] avec les balises tex autour...

C'est quand même plus lisible, pour toi, mais aussi pour nous.

Merci d'avance

Dernière modification par yoshi (30-11-2012 21:30:06)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Série de Fourier

Tssst.... tu vas trop vite et tu ne réponds pas à ma question.
Pourquoi tu veux que [tex]b_n=\frac{(-1)^n}n[/tex]
On verra à la fin si tu n'as pas la bonne formule.
Ma question est : que donne le théorème de Dirichlet appliqué en pi/2 avec les valeurs des coefficients de Fourier que tu as obtenus.
Et mon autre question du post 2 était : que vaut [tex]\sin(n\pi/2)[/tex] en fonction de n.

F.

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

[tex]\sin(\frac{n\pi}{2})=(-1)^n[/tex]
Le théorème de Dirichlet appliqué en pi/2 donne : [tex]f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}=S_{f}(pi/2)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}[/tex]

PS: Essayez de mettre un fonction de copier coller dans l'éditeur d'équation ce sera plus facile au lieu de tout retaper parce que je ne connais pas ce langage. (le bouton insérer ne fait rien chez moi)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Série de Fourier

[tex]\sin(\frac{n\pi}{2})=(-1)^n[/tex]

C'est là où tu as tort....
Parce que si n est pair, on trouve 0....

PS: Essayez de mettre un fonction de copier coller dans l'éditeur d'équation ce sera plus facile au lieu de tout retaper parce que je ne connais pas ce langage. (le bouton insérer ne fait rien chez moi)

Bizarre... Tu utilises quel navigateur?

Bon, je connais qd même peu de forums de maths avec un éditeur d'équations, même si celui-ci est rudimentaire!

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

Ah exact, je me suis persuadé, à tort, de ce résultat.
Comment simplifier [tex]\sin(\frac{n\pi}{2})=(-1)^n[/tex] et retomber sur notre première à partir du théorème de Dirichlet ?
Je n'ai rien de plus que [tex]S_f(\frac{\pi }{2})=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2}{n}sin(\frac{n\pi}{2})[/tex]
Ce qui ne m'avance pas trop

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

Mince, simplifier [tex]sin(\frac{\pi}{2})[/tex]

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Série de Fourier

Tu peux déjà écrire

[tex]S_f(\pi/2)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac2{2n+1}\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}2\right)[/tex]
puisque les termes pairs sont nuls. Et là, tu dois simplifier
[tex]\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}2\right)[/tex]
et ta première intuition peut te servir à nouveau...

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

Je viens de trouver le résultat [tex]\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4}[/tex]

Nicopetitfidbak

Invité

Re : Série de Fourier

Comment montrer que ma fonction f définie par [tex]f(x)=-\pi-x\:si\:x \in ]-\pi;0]\:et\:f(x)=\pi-x\:si\:x \in ]0;\pi][/tex] est impaire ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Série de Fourier

Bonsoir,

Je pense qu'il faut mieux que tu ouvres une nouvelle discussion lorsque tu changes de question...

Ceci étant, il suffit de regarder ce que veux dire "fonction impaire" pour répondre à la question (tu remarqueras d'ailleurs que puisque [tex]f(0) \neq 0[/tex] il y a aucune chance que ta fonction soit impaire...).

Roro.

Dernière modification par Roro (01-12-2012 19:20:45)