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cabouse

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Polynôme et espace vectoriel

Bonsoir,

J'ai un problème avec un exercice, comme souvent avec les polynômes (je sais pas pourquoi) :

Soit P(X) = (somme des j=0 à n) de a_j * X^j

On suppose que n'admet que des racine simple et que P est unitaire.

Soit f appartient L_K(E)  tel que P(f)=0,

Montrer que E= somme direct de ( j=0 à n)  ker(f - (lenda) I ) (mais je comprend pas ce que la somme direct viens faire ici )

De plus c'est ecrit qu'il faut le résoudre sans passer par les matrices.

Toutes idées est la bienvenu,
Merci.

Choukos

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut !
P est un polynôme annulateur de f et est scindé à racines simples. Le polynôme minimal divisant P, il est aussi scindé à racines simples ce qui est équivalent à dire que f est diagonalisable ou encore à ce que la somme (toujours) directe des espaces propres de f est égale à E tout entier. :)

Choukos

EDIT : Euh j'ai un doute, la propriété : le polynôme minimal de f est scindé à racines simples équivaut à ce que f soit diagonalisable est dans ton cours ou est-ce que c'est justemment le but de l'exo ?

Dernière modification par Choukos (23-10-2012 21:39:07)

cabouse

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Re : Polynôme et espace vectoriel

salut!

merci de ta réponse mais j'ai pas encore appris la diagonalisation; vu que je comprenais rien mon prof ma donner 2 indications :

il faut montrer que :

E_j inter E_K = 0 pour j différent de k

et Dim (E_j)=1

mais bon ce qu'il viens de me donner est la définition des somme direct...

Fred

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut,

Tu n'as pas non plus appris le théorème de décomposition des noyaux non plus j'imagine???

F.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut

salut!

mon prof ma donner 2 indications :

il faut montrer que :

E_j inter E_K = 0 pour j différent de k

et Dim (E_j)=1

mais bon ce qu'il viens de me donner est la définition des somme direct...

Ce que tu viens de dire ne suffit pas pour avoir  une somme directe :

Par exemple si on prends [tex]E={\mathbb R}^2[/tex]  et  [tex](u,v)[/tex] la base canonique de E pui  on  prends:  [tex]e_1=,e_2=v, e_3=u+v[/tex] et  [tex]E_1 = \text{Vect} \{e_i\}[/tex]  pour  tout   [tex]i \in  \{1,2,3 \}[/tex], on  voit  bien  que : [tex]E_1+E_2+E_3=E[/tex]   et  [tex]  E_i \cap E_j =\{0\} [/tex]  pour  tout  [tex]i,j \in \{1,2,3\}[/tex] tel que [tex] i \neq j [/tex] mais la somme en question n'est pas directe (puisqu'elle a trois termes non nuls et [tex]E[/tex] de dimension [tex]2[/tex] )

La  caractérisation est   la  suivante :
Si  [tex]E_1, \cdots, E_p[/tex]  sont  des  sev  de [tex]E[/tex]  et si  pour  tout  [tex]i \in \{1, \cdots, p\}[/tex] , on  note  [tex]\displaystyle \widetilde{E_i} = \sum_{j=1 , j \neq i}^p E_j[/tex] alors :

[tex]\oplus E_i= E    \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l} \sum_{i=1}^p  E_i = E  \\  \forall i \in \{1,\cdots, p\}  \quad  E_i \cap  \widetilde{E_i} = \{0\}  \end{array}\right.[/tex]

cabouse

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Bonjour,
merci pour vos reponses,
on ma demander 3 choses
-l'une est de montrer que Ej inter Ek =0 et d'en deduire que dim(somme (de j=1 à j=n) de Ej)=somme (de j=1 à j=n) de Ejdim(Ej) par recurence,
-de montrer que dimEj=1 pour tout j appartenant à {1,...,n}
-et d'en deduire que E= somme direct de j=1 a j=n Ej

si quelqu'un a une idée pour l'une des 3 questions ça me serais utile car il ne compte pas le corriger.
Merci

Fred

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut,

  Démontrer que [tex]E_j\cap E_k=\{0\}[/tex] n'est pas très difficile...
As-tu essayer de le démontrer? Si oui, dis-nous où tu bloques...

F.

cabouse

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Re : Polynôme et espace vectoriel

oui j'ai demontrer que Ej inter Ek = 0
mais je n'arrive pas a faire la reccurence ..

yoshi

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut,

Peux-tu te mettre à LaTeX, d'il te plaît ?

Merci.

@+

cabouse

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Re : Polynôme et espace vectoriel

C'est quoi LaTex?

Fred

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Salut,

  Le problème c'est que la récurrence ne vient par seulement de la propriété [tex]E_k\cap E_j=\{0\}[/tex].

En effet, imaginons que tu as démontré la propriété jusqu'au rang n-1. Si tu veux calculer la dimension au rang n,
avec le théorème des 4 dimensions, on trouve
[tex]\dim(E_1+\dots+E_n)=\dim(E_1+\dots+E_{n-1})+\dim(E_n)-\dim\big((E_1+\dots+E_{n-1})\cap E_n\big)[/tex]
et ce dont tu as besoin, c'est de prouver que
[tex](E_1+\dots+E_{n-1})\cap E_n=\{0\}[/tex]
(comme Mohamed le signalait d'ailleurs dans son post).

Et cette dernière propriété est plus dure à prouver...

F.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Polynôme et espace vectoriel

Re,

C'est quoi LaTex?

C'est ce qui nous permet d'écrire es formules mathématiques propres au lieu d'infâmes gribouillis.
N'as-tu pas remarqué ce lien à côté du bouton Insérer une équation : Code LateX ?
Si tu as l'environnement Java installé sur ta machine, clique sur le bouton "Insérer une équation" (tuto intégré sous forme d'un pdf de 70 ko) ou clique sur le lien Code LateX et dans ce cas tu n'as besoin que d'apprendre...

@+