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samo12

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injection de sobolev

Salut,
Si f1,f2,f3 appartient à L²(R²) et f(x)=f1(x2,x3)*f2(x1,x3)*f3(x1,x2) alors ||f||L1(R3)<= ||f1||L²(R²)*||f2||L²(R²)*||f3||L²(R²).
J'aimerais bien démontrer ce petit lemme et merci de m'aider :)

Fred

Administrateur

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Re : injection de sobolev

Salut,

  Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz plusieurs fois. Tu écris d'abord
[tex]\|f\|_{1}=\int_{\mathbb R^2}|f_3(x_1,x_2)|\left(\int_{\mathbb R}|f_1(x_2,x_3)|\times |f_2(x_1,x_3)|dx_3\right)dx_1dx_2.[/tex]

On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans la parenthèse :

[tex]\|f\|_1\leq \int_{\mathbb R^2} |f_3(x_1,x_2)| \times |g_2(x_1) |\times |g_1(x_2)|dx_1dx_2[/tex]
où [tex]g_2(x_1)=\left(\int_{\mathbb R}|f_2(x_1,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2}[/tex] et
[tex]g_1(x_2)=\left(\int_{\mathbb R}|f_1(x_2,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2}[/tex].

On réapplique l'inégalité de Cauchy-Schwarz, par exemple par rapport à la mesure [tex]dx_2[/tex] et on trouve

[tex]\|f\|_1\leq \int_{\mathbb R} g_2(x_1)\left(\int_{\mathbb R}|g_1(x_2)|^2 dx_3\right)^{1/2} g_3(x_1)dx_1[/tex]
où
[tex]g_3(x_1)=\left(\int_{\mathbb R}|f_3(x_1,x_2)|^2\right)^{1/2}[/tex]

On remarque alors que
[tex]\left(\int_{\mathbb R}|g_1(x_2)|^2 dx_3\right)^{1/2}=\|f_1\|_2[/tex]
et donc
[tex]\|f\|_1\leq  \|f_1\|_2\times \int_{\mathbb R} g_2(x_1) g_3(x_1)dx_1[/tex]

Il suffit d'appliquer une dernière fois l'inégalité de Cauchy-Schwarz par rapport à la mesure [tex]dx_1[/tex]

F.