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#1 13-10-2012 15:04:11
- vrouvrou
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calcul différentiel
Salut j'ai deux exercices j'aimerai avoir la méthode pour les résoudre ,les étapes a faire
Ex 1: soit E un espace de Banach, et L(E) l'espace des applications linéaires et continues de E dans lui meme et [tex]\varphi : \mathcal{L}(E) ----> \mathcal{L}(E)[/tex] l'application définie par [tex]\varphi(u)= u\circ u[/tex]
montrer que [tex]\varphi \in C^1(\mathcal{L}(E))[/tex]
Ex 2: Soit [tex]f: \mathbb{R}^2 ---> \mathbb{R}^2[/tex] l'application définie par [tex]f(x,y) =(x+a \sin y , y+b \sin x)[/tex]
ou a et b sont deux nombres réels positifs vérifiant ab<1
1) montrer que [tex]f : \mathbb{R}^2 ---> f(\mathbb{R}^2)[/tex] est un diffeomorphisme
2) prouver que [tex]f(\mathbb{R}^2) = $\mathbb{R}^2[/tex].
s'il vous plait
merci
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#2 13-10-2012 17:18:59
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : calcul différentiel
Salut,
Pour chaque exercice, il faut te rapprocher de la définition.
Exo 1 : tu veux montrer que [tex]\varphi[/tex] est différentielle, et que l'application qui [tex]u\mapsto d\varphi_u[/tex] est continue.
La première chose est donc de calculer la différentielle de u.
Exo 2 : f est un difféomorphisme si elle est différentiable et si sa différentielle est partout inversible.
Commence la aussi à calculer la différentielle, la matrice jacobienne suffit ici, et montre que cette matrice est inversible.
F.
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#4 14-10-2012 07:19:12
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : calcul différentiel
1. C'est plus compliqué que cela. Il faut que tu reviennes à la définition (c'est quoi u' pour une application linéaire?).
Remarque les exemples que tu as du faire dans ton cours pour différentier ce genre d'applications avec des matrices.
2. Drôlement, parce que si une matrice a un déterminant strictement positif, elle est inversible!
F.
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#5 14-10-2012 08:29:06
- vrouvrou
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Re : calcul différentiel
1: u appartiens a E qui est un espace de Banach , donc je suppose que c'est la même chose pour u'
2: la matrice jacobienne est inversible , cela suffit pour que f soit un difféomorphisme ?
s'il vous plait
merci
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#6 14-10-2012 17:37:39
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : calcul différentiel
Re,
1. Tu ne réponds pas à ma question. Donne toi une application linéaire u, et demande-toi si tu as déjà défini ce qu'était la dérivée de u.
Tu sais ce qu'est la dérivée d'une fonction de R dans R, mais tu n'as jamais défini la dérivée d'une application linéaire.
Je te l'ai dit, avant de faire cet exercice, étudie attentivement les exemples qu'il doit y avoir dans ton cours (ou que tu as fait avant en TD).
On ne peut pas dériver aussi facilement ici.
2. D'après le théorème d'inversion locale, presque... Il faut encore s'assurer que f est injective.
Fred.
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#7 16-10-2012 11:06:35
- vrouvrou
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Re : calcul différentiel
c'est a dire que cela fait 2 ans que j'ai étudier ce module et je trouve plus mon cahier , pour ça que je demande
pour la première question j'avance pas
et pour l'injection elle ne veux pas sortir y aurait il pas une autre méthode que la classique f(X)=f(Y) implique X=Y?
sil vous plait
merci
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#8 16-10-2012 15:49:33
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : calcul différentiel
Re-
Difficile de te faire un cours sur les fonctions différentiables en quelques lignes d'un post du forum.
Dans le cadre qui nous intéresse, du dois prendre [tex]h\in\mathcal L(E)[/tex]
et écrire [tex]\varphi(u+h)[/tex] sous la forme [tex] \varphi(u)+l(h)+o(\|h\|)[/tex]
où [tex]l[/tex] est linéaire.
Je te commence le début ;
[tex](u+h)\circ(u+h)=u(u+h)+h(u+h)=u\circ u+h\circ u+u\circ h+h\circ h[/tex]
Pour l'injectivité de la question 2, il faut partir de f(X)=f(Y) et trouver
la méthode appropriée pour prouver que X=Y.
Tu obtiens ici un système. Pour prouver que X=Y, les deux points clés sont :
1. L'inégalité des accroissements finis pour la fonction sinus : [tex] |\sin u-\sin v\|\leq |u-v| [/tex]
2. L'inégalité ab<1.
Fred.
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