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samo12

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espace de Banach

Bonjour,
Soit k>0 X={u appartient à C([0,+ infini[,E) ; sup(exp(-kt ||u(t)||) est fini t>=0} avec E un espace de Banach , je dois montre que X est un espace de Banach pour la norme ||u||x = sup(exp(-kt ||u(t)||) ; t>=0 .
Donc il faut prendre une suite de Cauchy (Vn) de X qui converge vers V  et on doit montrer que V est dans X
Il faut montrer que sup(exp(-kt ||u(t)||) est fini  donc montrons que exp(-kt ||u(t)|| est borné
On a |(exp(-kt))*||Vn(t)||| =(exp(-kt))*||Vn(t)||<=||Vn(t)||<= M (car toute suite de Cauchy est bornée) en passant à la limite
on obtient, (exp(-kt))*||V(t)||<=M  mais le problème est ce qu'on a ||Vn(t)|| tend vers ||V(t)|| ? ||.-| est la norme pour l'espace de Bnach E. Ou bien on utilise l'image d'une suite de Cauchy par une fonction  uniformément continue est une suite de Cauchy. Je vais vous énoncer le théorème que je dois montrer pour vous éclaircir les choses .
Théorème: Soit E un espace de Banach , soit F:E--->E une application telle que : ||F(u)-F(v)||<=L||u-v||  u,v dans E et L>=0
alors quelque soit uo dans E il existe u dans C1([0,+ infini[,E) unique telle que :
u'=F(u) sur [0,+ infini[ et u(0)=uo donnée initiale
Donc , résoudre ce problème revient à trouver u dans C1([0,+ infini[,E) telle que u(t)= uo+ intégrale entre 0 et t de F(u(s))ds.
Pour cela qu'on a posé l'ensemble X. Merci de m'aider :)

Dernière modification par samo12 (14-10-2012 13:15:56)

Fred

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Re : espace de Banach

Salut,

  D'abord, c'est un peu plus compliqué que ce que tu suggères. On pars d'une suite [tex](V_n)[/tex] qui est de Cauchy, mais on ne peut pas supposer qu'elle converge. Il faut d'abord le démontrer....
C'est donc assez compliqué, mais le schéma de preuve est presque toujours le même.

1. Tu fixes t positif, et tu démontres que la suite [tex](V_n(t))[/tex] est de Cauchy dans E, qui est complet, donc elle
converge vers [tex]V(t)[/tex]

2. Il faut démontrer que [tex]V[/tex] est continue.

3. Il faut démontrer que [tex]V[/tex] et dans X et que [tex](V_n)[/tex] converge vers [tex]V[/tex].

Je vais t'aider à faire le 3ème point (celui que tu évoquais dans ton post).
On commence par écrire la définition d'une suite de Cauchy, disons pour [tex]\epsilon=1[/tex].
Il existe N tel que
[tex]p,q\geq N\implies \|V_p-V_q\|\leq 1\iff \forall t\geq 0,\ \exp(-kt\|V_p(t)-V_q(t)\|)\leq 1.[/tex]
On fait tendre q vers l'infini, et on obtient
[tex]\forall t\geq 0,\ \exp(-kt\|V_p(t)-V(t)\|)\leq 1.[/tex]
Avec cela, tu dois pouvoir en déduire que V est dans X.

Fred.

samo12

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Re : espace de Banach

Re,
La norme de u sur X est sup((exp(-kt))*||u(t)||) t>=0 et non pas sup(exp(-kt*||u(t)||)) , désolée c'était une faute de frappe :) . Mais
(exp(-kt))*||Vp(t)-V(t)||  reste <= 1  pour tout t>=0 , mais je n'arrive pas à conclure que sup((exp(-kt))*||V(t)||) est fini :/

Fred

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Re : espace de Banach

Par l'inégalité triangulaire :
[tex] \exp(-kt)\|V(t)\|\leq \exp(-kt)\|V(t)-V_p(t)\|+\exp(-kt)\|V_p(t)\|[/tex]
et tu sais que [tex]V_p[/tex] est dans X.

F.

samo12

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Re : espace de Banach

Merci beaucoup de m'avoir aidé :)