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samo12

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théorème de divergence

Salut,

j'ai du mal à appliquer le théorème de divergence pour une fonction F continue sur la boule de centre O et de rayon R,  quelle est la normal de cette boule et et j'intègre par rapport quelle mesure? Est ce que la frontière de cette boule est une sphère de centre O et de rayon R ?

merci de m'aider  :)

Fred

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Re : théorème de divergence

Bonjour,

  Je ne sais pas de quelle théorème de divergence tu parles... Peut-être que quelqu'un d'autre pourra te renseigner.
Dans tous les cas, la frontière de cette boule est bien la sphère que tu décris.
En un point de la sphère, la normale à la sphère est la droite passant par ce point et le centre de la boule.

F.

Roro

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Re : théorème de divergence

Bonjour,

J'imagine que le théorème de la divergence cité par samo12 correspond à une version de la formule de Stokes :
[tex]\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega [/tex].
Dans cette égalité, [tex]\omega[/tex] est une 2-forme de l'espace [tex]R^3[/tex] (je me place dans le cas de samo12), donc de la forme
[tex]\omega = f_1 dy\wedge dz + f_2 dz \wedge dx + f_3 dx \wedge dy[/tex].
Tu remarqueras qu'on peut formellement écrire
[tex]\omega = f \cdot ds[/tex] où [tex]ds=(dy\wedge dz \, ,\, dz \wedge dx \, ,\, dx \wedge dy)[/tex]
et sa différentielle  vaut
[tex]d\omega = div(f) dx\wedge dy \wedge dz.[/tex]
L'ensemble S est la sphère unité de [tex]R^3[/tex] et son bord est effectivement la sphère (sous-variété de dimension 2).
La formule de Stokes devient alors
[tex]\int_S  div(f) dx\wedge dy \wedge dz = \int_{\partial S} f \cdot ds [/tex].
Si tu veux retrouver des mesures "classiques", il faut par exemple paramétrer la sphère : si ton paramétrage est donné par [tex]M(u,v)[/tex] alors tu auras
[tex]ds = \partial_uM \wedge \partial_v M dudv[/tex] ([tex]dudv[/tex] étant la mesure de Lebesgue sur le plan) et comme par magie, [tex]\partial_uM \wedge \partial_v M[/tex] est lié à la normale à la sphère...

Je ne sais pas si ça répond à la question (assez compliquée en fait)...
Roro.

samo12

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Re : théorème de divergence

Re,
oui c'est très compliqué je n'ai pas compris :/ .
Théorème de divergence:
Soit A \in\subset \mathbb{R^n} ouvert de classe C1 ,soit F:A barre ---> R^n continue et C1 sur A alors
\int_A,\div(F(x)\,dx= \int_dA,\F(x)*n(x)\,dm(x)
où dm(x): mesure sur dA avec dA la frontière de A et n(x): la normale, donc je dois appliquer ce théorème pour A= B(o,R) et je sais pas comment trouver la normale et dm(x) ? et j'ai chercher des exercices sur ce théorème mais je n'ai pas trouvé

Dernière modification par samo12 (10-10-2012 22:40:13)

Groupoid Kid

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Re : théorème de divergence

N'nuit.

C'est un peu le souci Samo, la façon dont tu poses ta question amène nécessairement une réponse de niveau très élevé : du point de vue des maths, c'est du calcul différentiel extérieur sur les variétés.

je sais pas comment trouver la normale et dm(x) ?

Pour la normale, c'est exactement ce à quoi tu penses : [tex]\partial A[/tex] est une hypersurface (supposément A est l'intérieur d'une variété à bord plongée), ses espaces tangents sont donc des hyperplans. Leur orthogonal pour le produit scalaire standard de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] est de dimension 1, et peut donc être dirigé par *deux* vecteurs unitaires : l'un qui pointe vers l'intérieur de A, et l'autre vers l'extérieur de A. Ici, tu t'intéresses à la normale sortante N(x), celle qui pointe vers l'extérieur.
Ensuite si je ne dis pas de bêtises la mesure est celle induite par la forme volume [tex]i_N(\det)[/tex], où [tex]i_N[/tex] désigne le produit intérieur. Je sais, ce n'est toujours pas clair pour toi... mais c'est ça la réponse à ta question.

En fait l'intégation étant locale, tu peux réfléchir comme si tout se passait pour [tex]A = \mathbb{R}_-\times\mathbb{R}^{n-1}[/tex]. Dans ce cas pour [tex]x=(0,x_2,\ldots,x_n)\in\partial A[/tex], tu as [tex]N(x)=(1,0,\ldots,0)[/tex], et la mesure que tu veux est la mesure standard sur [tex]\mathbb{R}^{n-1}\equiv\{0\}\times\mathbb{R}^{n-1}[/tex] (modulo quelques soucis de signes concernant l'orientation). Si A est autre chose, tu utilises comme l'a dit Roro une paramétrisation locale, tu transportes le tout sur ta variété à bord, et tout marche pareil.
Remarque : en fait on se moque que la normale soit normale, pourvu qu'on fasse le bon produit intérieur pour avoir la mesure qui va avec.

Si tu cherches des références, tous les bouquins qui font l'intégration sur les variétés traitent de ça. Les mots-clés sont : Formule de Stokes, Formule d'Ostrogradski (Green-), Théorème de Flux-Divergence.

Dernière modification par Groupoid Kid (11-10-2012 00:51:27)