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#1 06-10-2012 16:27:39
- Maxime_3
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[Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Bonjour,
J'ai vu que le LaTeX est fortement conseillé alors je vais tenter.
Je suis en licence pro, ne vous moquez pas de mon exo qui je pense doit être facile mais je n'y arrive pas.
Alors voila :
J'ai B la base canonique de [tex]\mathbb{R^3}[/tex] et F aussi une base de [tex]\mathbb{R^3}[/tex] constituée des vecteurs [tex]u_1=(1,1,1) ; u_2=(-1,2,3) ; u_3=(1,0,-1)[/tex]. (démontrer que F était une base constituait la première question, j'ai réussi)
La question 2 était de savoir si il existait des vecteurs de [tex]\mathbb{R^3}[/tex] ayant les mêmes coordonnées dans les bases B et F.
Je résous avec cette méthode conseillée par le prof :
[tex]\lambda_1*(1,0,0) + \lambda_2*(0,1,0) + \lambda_3*(0,0,1) = \lambda_1*(1,1,1) + \lambda_2*(-1,2,3) + \lambda_3*(1,0,-1) [/tex]
Donc je trouve une infinité de solution avec Solution = {([tex]-\lambda_3 ; \lambda_3 ; \lambda_3) \lambda_3 \in \mathbb{R}[/tex]}
Et la question 3 que je n'arrive pas à résoudre est : Donner la dimension du sous espace vectoriel formé par ces vecteurs ainsi qu'une base de ce SEV. (Il précise : on travaille sur le SEV ( ([tex]-\lambda_3 ; \lambda_3 ; \lambda_3) \lambda_3 \in \mathbb{R}[/tex])
Ce que je vois c'est qu'on a une infinités de solution donc dim(SEV)= [tex]\infty[/tex]
Merci de votre aide, en espérant avoir une réponse au plus vite !
Dernière modification par Maxime_3 (07-10-2012 13:47:23)
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#2 06-10-2012 16:46:25
- ymagnyma
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Re : [Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Bonjour Maxime_3.
Regarde bien comment tu as répondu à la question 2, et même la question 1.
Dans le sev que tu considère, il y a, bien sur, une infinité de vecteurs.
Par exemple, il y a le vecteur v_1=(-1,1,1).
Prend un autre vecteur non nul, quelconque, disons v_2.
Que penses-tu de la famille (v_1 , v_2) ?
Conclusion ?
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#3 06-10-2012 16:49:41
- Maxime_3
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- Messages : 4
Re : [Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Bonjour,
Merci de ta réponse !
Oui bien sur, j'ai pensé à ça mais après, je peux choisir encore un vecteur v_3 !
Si je suis ta logique, tu me dis que j'ai donc deux vecteurs donc la dimension de mon SEV est 2 ?
Or si moi je rajoute mon 3ème vecteur v_3, la dimension de ce dernier passe de 2 à 3 ?
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#4 06-10-2012 17:12:34
- ymagnyma
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Re : [Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Non, car à ce rythme là, tu vas construire un sev de R^3 de dimension supérieur à 3, ce qui est assez gênant, n'est-il pas ?
(je n'arrive pas à utiliser latex, mais j'ai des restes d'anglais, je ne sais si ça compense ...)
Quand tu prends un deuxième vecteur, regarde déjà comment est la famille (v_1 v_2).
De deux chose l'une, si cette famille est liée, (pour v_2 quelconque non nul, c'est fini, la dimension est 1 car v_1 engendre ton sev.
Si la famille est libre, tâche de trouver un vecteur v_3 non lié au deux premier.
De nouveau, de deux choses l'une : si tu y arrives, c'est vraiment fini, car alors la dimension du sev est 3, donc égale à celle de l'ev initial, bref, tu ne trouverai pas mieux.
sinon, (si v_3 est lié à v_ et v_2), c'est que la dimension est 2.
(Bref, comme dans la question un). ("un" et pas "une" car c'est le numéro de la question)
ça marche ?
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#5 06-10-2012 18:03:15
- Maxime_3
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- Messages : 4
Re : [Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Oui, c'est assez gênant, je m'en suis rendu compte, je ne peux pas trouver un SEV plus grand que mon EV, c'est logique ^^
Pour le latex, pour écrire [tex]\mathbb{R^3}[/tex], tu dois écrire : [ tex]\mathbb{R^3}[ /tex] (sans les espaces avant tex et /tex, fais bien attention au sens des slashs et anti-slashs)
Logiquement, l'exercice est simple, je dois trouver une base donc une famille libre et génératrice.
Je vais donc résoudre comme pour la question 1 : [tex]\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 = (0,0,0)[/tex]
Je trouve [tex]\lambda_1 = f(\lambda_2)[/tex]. Ainsi ma famille serait liée.
Étant donnée qu'elle est liée la dimension de mon espace est donc tout au plus 1.
Ainsi mon vecteur (-1,1,1) (qui constitue une famille d'un seul vecteur) génère mon SEV, ma famille est donc libre, c'est donc une base de ( ( −λ3;λ3;λ3)λ3∈R ).
En fait, j'avais un exercice similaire mais je n'avais pas compris (j'étais malade ce jour la). Tu m'as permis de comprendre cette partie de mon cours, je te remercie !
Dernière question : Le corollaire : "une famille de n + 1 vecteur est liée" a t-il un rapport avec ce qu'on vient de dire ? Si oui, c'est bon alors j'ai bien compris !
Merci pour tout !
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#6 06-10-2012 18:11:52
- ymagnyma
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Re : [Résolu] Problème sous espace vectoriel : SEV
Mais de rien, (merci à toi pour l'indication latex).
En effet, dans un ev E de dimension n, une famille de n+1 vecteurs non nuls est nécessairement liée.
(on retrouve le fait que sinon, ces n+1 vecteurs seraient susceptibles de de constituer une base de E, en contradiction avec la définition de n comme étant la dimension de E).
Bonne soirée.
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