Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ymagnyma

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courbe paramétrée : projection

Bonjour.
J'ai un soucis avec la deuxième question de l'exercice suivant :
L'espace euclidien étant rapporté à un repère (O , vec i , vec j , vec k ), courbe paramétrée :
x = t³ - 3t , y = -3 t² , z = t³ + 3t
1. Calculer le vecteur dérivée et le vecteur de la dérivée seconde.
Calculer le norme de v et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec Oz.

2. Montrer qu'il existe une droite D, passant par O, sur laquelle la projection, m du point M a une dérivée seconde nulle.

Voilà pour l'énoncé, qu'il faut déjà comprendre, implicitement, v est la "vitesse", "dérivée" de M(t).

Ce qui me pose problème, c'est qu'alors, tout point m de n'importe qu'elle droite doit a une dérivée seconde nulle, puisqu'il s'écrit ses coordonnées sont de la forme x = a + d. t ; y = b + e. t ; z = c + f. t
m' est donc constant et m'' est nul.

Sinon, je trouve que D ( t , 0 , -t) est perpendiculaire à M''(t), qui décrit une droite. Mais je ne vois pas bien quelles sont les coordonnées de son projeté sur D.

Merci de bien vouloir éclairer ma lanterne.

ymagnyma dans la brume.

Groupoid Kid

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Re : courbe paramétrée : projection

Salut à toi ymagnyma,

j'avoue que ton calcul de m(t) me laisse perplexe, en ce qui me concerne la projection générique d'une courbe (paramétrée) polynomiale de degré 3 est ... eh bien, une "courbe" polynomiale de degré 3. Il me semble que tu confonds le paramètre différentiable "t" de la courbe gauche M(t), et la coordonnée linéaire "t" qui permet de décrire une droite D.

Si [tex]D = \mathbb{R}v_0[/tex], la projection de M(t) sur D est obtenue par : [tex]m(t) = (M(t)\cdot v_0) v_0[/tex] (où [tex]\cdot[/tex] est le produit scalaire). Il s'agit d'une "courbe" dégénérée dont l'image géométrique est contenue dans la droite D, mais qui en tant que fonction n'a pas de raison d'être linéaire (moralement c'est une fonction standard [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}=D[/tex]).
En procédant par coefficients indéterminés par exemple, tu devrais trouver facilement une condition sur les coordonnées du vecteur directeur [tex]v_0[/tex] pour que m'' soit nulle.

La droite D que tu as choisi a l'air de convenir : étant donné que la projection est une application linéaire continue, m'' est tout simplement le projeté de M''. Et puisque M'' est orthogonal à D (donc dans le noyau de la projection), m'' est nul.

Cordialement,
GK

ymagnyma

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Re : courbe paramétrée : projection

Merci GK pour cette réponse. Effectivement, j'ai confondu les deux notations t, et même si, en le disant, je vois que ce n'est pas le même, je me dis que dans les deux cas il s'agit d'un paramètre permettant de décrire une courbe (au sens large).

Je comprends également bien ce que tu me dis sur une façon de trouver D, c'est d'ailleurs comme ça que j'ai trouvé celle que je propose.
Ton explication sur le fait qu'alors m'' est nul est, littéralement, simple et du coup claire, au moins pour quelqu'un qui a fait de l'algèbre linéaire. (Même si pour moi, cette façon de raisonner n'est toujours pas automatique, c'est bien dommage).

Mais cet exercice est posé à des élèves de BTS espace design, qui ont comme seule référence de math un polycopié de niveau TS. Et du coup, je ne vois pas bien comment ils justifieront que pour trouver D, il suffit de de trouver un vecteur directeur orthogonal à M''(t).
Peut-être est-ce ainsi qu'on leur présente ?

Bref, merci encore pour ces explications qui m'auront ouvert les yeux sur d'autres domaines.

Bonne fin de journée. ymagnyma, moins dans la brume, (mais je n'ose pas regarder dehors, ça m'a l'air bien gris).

totomm

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Re : courbe paramétrée : projection

Bonjour,

Groupoid kid a répondu alors que je préparais une image plus triviale :
Lancer une pierre devant soi : En prenant le temps comme paramètre t, sa projection sur un axe vertical a un mouvement accéléré (dérivée seconde non nulle) et sa projection sur un axe horizontal a une vitesse constante...

Donc effectivement comme le souligne GK, si t paramètre le mouvement d'un point M et définit la trajectoire de ce point, le même t peut définir le mouvement du projeté M sur une courbe dont on choisit la nature (une droite) mais ne définit pas la nature de la courbe sur laquelle on projette M.

cordialement

ymagnyma

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Re : courbe paramétrée : projection

"C'est beau d'avoir des idées !" proverbe de chezmoi.

Bonjour totomm et merci pour cette belle image qui complète bien les explications de GK.

Cordialement, ymagnyma de moins en moins dans la brume ... d'ailleurs qu'elle est cette lumière ? Et oui, l'écran de mon ordi ...