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#1 06-10-2012 14:10:57
- ozvessaillus
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integral impropre
Bonjour
J'ai une contradiction dans ma tete on dirait j'ai pas bien compris voila mon problème
[tex]\int^{1}_{0}\ln \left(t\right)dt[/tex] elle converge
Par la méthode des ccomparaisons on a
[tex]\lim \,t\rightarrow 0\,t\ln \left(t\right)=0\,\Rightarrow \,\ln \left(t\right)=o\left(\frac{1}{t}\right)[/tex]
mais 1\t Diverge sur cette intervalle donc ln(t) diverge aussi je comprends pas
Merci comparaisons
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#2 06-10-2012 15:22:07
- Groupoid Kid
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Re : integral impropre
Salut à toi ozvessaillus,
En effet tu sembles assez confusé ^^
En langage courant, ton argument est :
"Comme le logarithme est bien plus petit que l'inverse, et comme l'inverse est trop gros pour être intégré, j'en déduis que le logarithme est lui aussi trop gros pour être intégré."
Vois-tu la bourde dans cette affirmation ?
GK
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#3 06-10-2012 15:44:10
- ozvessaillus
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Re : integral impropre
Salut Gk
Nn je vois pas , et pourtant en prenant la racine carré de x ça marche je comprends de moins en moins la
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#4 06-10-2012 20:07:42
- Groupoid Kid
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- Messages : 155
Re : integral impropre
Très bien, alors je vais êre plus explicite. Je vais également ajouter les valeurs absolues que tu as sous-entendues (ou oubliées).
Laissons un instant de côté les petits "o" de Landau, et prenons une vraie majoration :
[tex]\forall t<1, |\ln(t)|<\frac{1}{t}[/tex]
(Je te laisse faire l'exercice, tu peux même majorer par [tex]\frac{1}{2t}[/tex])
Tu dis :
[tex]|\ln(t)|<\frac{1}{t} \quad\text{ et }\quad \int_0^1\frac{dt}{t} = +\infty[/tex]
Ce que tu peux en déduire c'est ... bin rien du tout :
[tex]\int_0^1|\ln(t)|dt \leqslant \int_0^1\frac{dt}{t}=+\infty[/tex].
Le fait que ce soit une relation de dominance [tex]\ln(t) << \frac{1}{t}[/tex] au lieu d'une majoration ne change absolument rien au problème, être plus petit que l'infini ça ne donne aucune information.
Si tu fais de même avec la racine carrée, la différence majeure est que cette fois ton majorant est intégrable :
[tex]|\ln(t)|<<\frac{1}{\sqrt{t}} \quad\text{ et }\quad \int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t}} < +\infty \implies \int_0^1\ln(t)dt < +\infty[/tex]
C'est plus clair cette fois ? :)
Dernière modification par Groupoid Kid (06-10-2012 20:11:26)
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