Forum de mathématiques - Bibm@th.net

venus

Invité

Résolution d'une équation

Bonsoir,

J'ai du mal à trouver les solution de l'équations:

2^x+2^x+1+...+2^x+n = 3^x+3^x+1+...+3^x+n

Je suis désolé j'arrive pas à utiliser le code latex :(

Merci d'avance!

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Résolution d'une équation

Bonjour,

Je suis désolée j'arrive pas à utiliser le code latex :(

...ni la priorité des opérations ?

Toujours la même antienne... et la même réponse : consulter la page http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943

D'autre part, lorsque tu écris un message, une barre d'outils est à ta disposition, voilà ce que tu aurais pu écrire
2^x+2^x+1+...+2^x+n = 3^x+3^x+1+...+3^x+n
quand même plus lisible, non ?

J'ai respecté ci-dessus strictement la priorité des opérations, mais je présume que tu voulais écrire :
2^x+2^x+1+...+2^x+n = 3^x+3^x+1+...+3^x+n

Soit avec ta notation et en resprctant la pririté des opérations :
2^x+2^(x+1)+...+2^(x+n) = 3^x+3^(x+1)+...+3^(x+n)

Quelle est la bonne version ?

@+

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : Résolution d'une équation

Bonjour venus,

Quelle est l'inconnue dans ton équation ? [tex]x[/tex] ou [tex]n[/tex] ? (ou les deux !)
Si ton équation est celle-ci : [tex]2^x+2^{x+1}+...+2^{x+n} = 3^x+3^{x+1}+...+3^{x+n}[/tex] (cf message de Yoshi) peut être que tu peux un peu la simplifier en mettant des trucs en facteur à gauche et à droite...

Ensuite ça devrait être moins difficile.

Roro.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Résolution d'une équation

Bojour,

C'était Vénus ou une étoile filante ?...
Tu vois Roro, tu t'es fatigué pour rien...

Bon, maintenant que l'urgence extrême est passée (Vénus n'a même pas trouvé le temps de revenir...), on va répondre...
Cas n° 1, l'énoncé est [tex]2^x+1+2^x+2+2^3+...+2^x+n = 3^x+3^x+1+3^x+2+3^x+3+...+3^x+n[/tex]
Réponse triviale.
[tex]2^x+2^x+1+2^x+2+2^3+...+2^x+n = 3^x+3^x+1+3^x+2+3^x+3+...+3^x+n[/tex]

                      [tex]\Longleftrightarrow[/tex]

[tex](n+1)2^x = (n+1)3^x[/tex]

                      [tex]\Longleftrightarrow[/tex]

[tex]2^x=3^x\;\Longleftrightarrow\;x\ln 2 = x\ln 3[/tex]  d'où [tex]x = 0[/tex]

Cas n°2, l'énoncé est [tex]2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+...+2^{x+n} = 3^x+3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+n}[/tex]
C'est le cas le plus probable...
D'accord avec Roro...
[tex]2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+...+2^{x+n} = 3^x+3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+n}[/tex]

                       [tex]\Longleftrightarrow[/tex]

[tex]2^x(1+2+2^2+2^3+....+2^n)=3^x(1+3+3^2+3^3+...+3^n)[/tex]

[tex]1+2+2^2+2^3+....+2^n[/tex] est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. Soit [tex]S_1[/tex] cette somme.
[tex]1+3+3^2+3^3+....+3^n[/tex] est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3. Soit [tex]S_2[/tex] cette somme.

Alors
[tex]2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+...+2^{x+n} = 3^x+3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+n}[/tex]

                       [tex]\Longleftrightarrow[/tex]

[tex]2^x \times S_1 = 3^x \times S_2\;\Leftrightarrow\;\frac{2^x}{3^x}=\frac{S_2}{S_1}\;\Leftrightarrow\;\; x(\ln 2-\ln 3)=(\ln S_2 - \ln S_1)[/tex]

La suite coule de source...

@+

venus

Invité

Re : Résolution d'une équation

Bonsoir Yoshi et Roro Merci beaucoup pour vos réponses,

En faites il s'agissait bien du deuxième cas,

Merci énormément et désolé parce que j'ai pas bien posé la question.

Venus :)