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abdoullah

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egalité de deux E.V.N

Salut SVP j'ai une question:
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace vetoriel normé E,
on veut montrer que si: F est un ouvert alors F=E.
merci de me dire comment proceder.
Merci pr vos réponses.

Fred

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Re : egalité de deux E.V.N

Salut,

  Si F est un ouvert, alors puisque F contient une boule de centre 0, disons B(0,r).
Mais puisque F est un sous-espace vectoriel, il est stable par multiplication. Donc, pour tout
[tex]\lambda>0[/tex], la boulr [tex]B(0,\lambda r)[/tex] est contenue dans F.
Si on prend x dans E, il suffit de choisir [tex]\lambda[/tex] de sorte
que [tex]\|x\|\leq \lambda r[/tex] pour prouver que x est aussi dans F.

Fred.