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#1 24-09-2012 18:56:56
- xehanort
- Membre
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fonction et espaces L1 et L2
Bonjour,
voici mon problème, je dois trouver les intervalles sur lesquels la fonction f appartient à L1
juste pour précision au cas où : L1 correspond à l'espace des fonctions sommables(intégrables) sur l'intervalle I
la fonction que l'on considère est
f(t) = (1+t)² exp(1/t)
ayant l'habitude d'utiliser les règles de Rieman, j'ai essayé mais cela n'a pas abouti
j'ai ensuite regardé en 0 et j'ai observé ceci :
en 0+ on a alors lim f(t) =+infini
en 0- on a lim f(t)=0
ou alors dois-je utiliser la règle n puissance alpha * f(t) et étudier sa limite ? du coup j'en déduit convergence ou non suivant alpha ?
merci par avance de vos réponses ^^
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#2 24-09-2012 19:45:12
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : fonction et espaces L1 et L2
Bonjour,
D'abord, si je comprends bien l'énoncé de ton exercice, tu dois déterminer les intervalles [tex]I[/tex]
de sorte que [tex]f\in L^1(I)[/tex]. Ta fonction est continue et définie sur [tex]\mathbb R^*[/tex]
Si [tex]I[/tex] est un intervalle borné qui ne contient pas 0, ta fonction est donc intégrable
sur [tex]I[/tex] et donc [tex]f\in L^1(I)[/tex].
Ensuite, effectivement, il faut étudier ce qui se passe en 0 et en l'infini.
Le plus facile, c'est en 0-. En effet, f se admet 0 pour limite en 0-. Autrement dit,
f se prolonge par continuité à gauche en 0. En particulier, il n'y a pas de problèmes d'intégrabilité
en 0-.
En 0+, comme tu l'as observé, f tend vers l'infini. Ceci ne permet pas pour conclure à l'intégrabilité de f ou non en 0+.
Mais les règles de Riemann fonctionnent. En effet, quelle est la limite en 0+ de [tex]tf(t)[/tex]? Cela revient à étudier
la limite en [tex]+\infty[/tex] de [tex]\exp(u)/u[/tex] qui est une limite bien connue.
En l'infini, on n'a pas affaire à une forme indéterminée, et on détermine facilement la limite de f, ou même mieux, un équivalent.
Ceci devrait te donner directement des billes pour l'intégrabilité ou non de f au voisinage de l'infini.
Cela dit, j'ai un doute. Tu parles d'intégrabilité ou non suivant [tex]\alpha[/tex], mais [tex]\alpha[/tex] n'apparait nulle part dans ton énoncé.
Fred.
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#3 24-09-2012 20:31:28
- xehanort
- Membre
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- Messages : 4
Re : fonction et espaces L1 et L2
merci pour ta réponse,
à propos de alpha je parlais d'une notion de cours en fait elle n'apparaît pas dans l'énoncé
en faisant t*f(t) j'obtiens une limite en 0+ qui vaut +infini mais la puissance de t étant 1 je ne vois pas comment conclure : a-t-on le droit de dire que ça diverge ?
en +infini, je trouve f(t) équivalent à t² exp(1/t) et en limite on a +infini donc je sais plus trop quoi dire là ...
y aurait-il divergence en +infini aussi ?
désolé mais j'ai du mal avec cette fonction ...
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#4 24-09-2012 21:06:36
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : fonction et espaces L1 et L2
Re-
Au voisinage de 0+, tu peux dire que [tex] |f(t)|\geq \frac 1t>0[/tex], et comme cette dernière intégrale est divergente, celle de f l'est aussi.
Au voisinage de l'infini, effectivement, si une fonction f tend vers l'infini, son intégrale est divergente...
Par exemple, parce que [tex] |f(t)|\geq \frac 1t>0[/tex] là aussi.
F.
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#7 27-09-2012 11:58:41
- xehanort
- Membre
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- Messages : 4
Re : fonction et espaces L1 et L2
bonjour,
oui c'est vrai tu as raison, elle n'est pas intégrable en -infini, ... snif
pour la notation, c'est le prof qui nous a dit que ça s'écrivait comme ça en fait le a permet de prendre en compte les nombres de 0
pourrais tu alors me donner une notation s'il te plaît qui résume l'intégrabilité de la fonction sur L1 ? car là je ne vois pas trop comment le rédiger ...
Merci par avance !!^^
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