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vrouvrou

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image réciproque

Bonsoir a tous ,
j'ai un petit problème avec cet exercice et j'ai complétement oublier comment faire pour trouver l'image réciproque d'un interval
l'exercice dit: étudier la continuité de  [tex]f[/tex] ,sur [tex]\mathbb{R}[/tex]
[tex]f: (\mathbb{R}, \sigma)\rightarrow (\mathbb{R},|.|)[/tex] donnée par :
0 si [tex]x<0[/tex] et [tex]x^2+1[/tex] si [tex]x \geqslant 0[/tex] .
([tex]\sigma[/tex] est la topologie cofinie sur [tex]\mathbb{R}[/tex])
J'ai commencer par le cas ou [tex]x<0[/tex] mais je ne sais plus comment procéder pour trouver l'image réciproque de [tex]]-\varepsilon, \varepsilon[[/tex]
même chose pour l'autre cas
s'il vous plait aidez moi
merci

Fred

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Re : image réciproque

Salut,

  Tu dois simplement résoudre l'inéquation [tex]|f(x)|\leq\epsilon[/tex]
On distingue effectivement deux cas : si [tex]x<0[/tex], on a bien [tex]|f(x)|=0<\epsilon[/tex]
Si [tex]x\geq 0[/tex], on cherche à résoudre [tex]x^2+1<\epsilon[/tex].

Si [tex]\epsilon<1[/tex], ceci n'est pas possible et dans ce cas
[tex]f^{-1}(]-\epsilon,\epsilon[)=]-\infty,0[ [/tex]

Ceci montre d'ailleurs que ta fonction, avec les topologies que tu as mises, n'est pas continue!

Fred.

vrouvrou

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Re : image réciproque

ah oui !
et je procède de la même façon pour x > 0 ?
s'il vous plait
merci

vrouvrou

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Re : image réciproque

le voisinage dans ce cas est [tex]]x^2+1-\varepsilon , x^2+1+\varepsilon [[/tex]

Fred

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Re : image réciproque

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
On cherche d'une part les x<0 pour lesquels f(x) est dans l'intervalle I. Ils le sont tous avec ton intervalle.
On cherche d'autre part les x>0 pour lesquels f(x) est dans ton intervalle. Et, comme je l'ai signalé plus haut, il n'y en a aucun.

Réfléchis bien à ce que tu dois faire : tu dois résoudre l'inéquation [tex]|f(x)|<\epsilon[/tex]

F.

vrouvrou

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Re : image réciproque

ce que je veux dire c'est que pour[tex] x<0[/tex]  [tex]f(x)=0[/tex] et donc on prend [tex]]-\varepsilon ,\varepsilon[[/tex] comme voisinage de [tex]f[/tex] , moi ce que je veux c'est de savoir comment faire pour trouver l'image inverse si je sais comment la trouver je saurais continuer , tu m'a dit il faut faire [tex]|f(x)|<\varepsilon[/tex]
et je me demande si dans le cas ou [tex]x>0[/tex] ,c'est a dire [tex]f(x)=x^2+1[/tex] ,le voisinage est [tex]]x^2+1-\varepsilon , x^2+1+\varepsilon [[/tex] on procéde de la même manière a savoir [tex]|f(x)|<\varepsilon[/tex]
s'il vous plait
merci

Fred

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Re : image réciproque

Re-

  Je crois que tu ne comprends pas ce que tu dois faire. Tu dois chercher l'ensemble des x tels que
[tex]|f(x)|<\epsilon[/tex].
Le résultat ne peut pas dépendre de x!!!

(c'est comme si tu cherchais à résoudre [tex]x^2=2[/tex] et que tu me disais que la réponse est 2/x !!! )

Et je t'ai expliqué que l'inéquation [tex]|f(x)|<\epsilon[/tex] n'avait pas de solutions quand x est positif.

Fred.