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#1 07-09-2012 21:54:44
- blink
- Membre
- Lieu : canada
- Inscription : 23-06-2011
- Messages : 43
matrice
bonjour,
je bloque sur un exo et je ne trouve pas de solution, s il vous plait aidez moi
A=UHV
avec Uet V des matrices n par n et sont toutes les deux aorthogonales
et H une matrice diagonale carre de dimension n par n
effectuez le produit A t A et deduire que les carres des valeurs singulieres de H sont les vecteur propres de At A et que les colonnes de V sont les vecteurs propres associes
Dernière modification par blink (07-09-2012 22:12:10)
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#2 08-09-2012 07:18:11
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : matrice
Salut,
tu bloques sur quel point ? C'est un résultat assez classique dès lors qu'on se souvient que si [tex]V[/tex] est une matrice carrée orthogonale d'ordre n, alors le produit [tex]V^t\times V= I_n[/tex].
Donc [tex]A^t = (UHV)^t = V^t(UH)^t = V^tH^tU^t[/tex] et [tex]A^tA=(V^tH^t)(U^tU)(HV)=V^tH^2V[/tex] avec [tex]H[/tex] matrice carrée diagonale.
Tu peux finir ?
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#5 08-09-2012 14:01:05
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : matrice
Salut,
J'ai peut-être mal compris l'exercice, mais je dirais ceci :
[tex]A^tA[/tex] et [tex]H^2[/tex] sont semblables, donc elles ont les mêmes valeurs propres.
[tex]H[/tex] étant diagonale, les valeurs propres de [tex]H^2[/tex] sont exactement les valeurs propres de H au carré.
Pour la dernière partie, je crois qu'il y a un problème entre V et sa transposée. En effet,
l'écriture [tex]A^t A=V^{-1}H^2V[/tex] entraine que la matrice de passage de [tex]A^tA[/tex] à une matrice diagonale
est la matrice [tex]V^{-1}=V^t[/tex]. Ce sont les colonnes de cette matrice qui sont des vecteurs propres de [tex]A^tA[/tex].
Fred.
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