Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Hamza

Invité

Suite équicontinue

Bonjour,

quelqu'un peut m'aider à répondre à la question suivante: 
la suite [tex]x_n(t) = t^n[/tex]  est-elle équicontinue sur l'intervalle  (0,1) ??

Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Suite équicontinue

Salut,

  Est-ce que le point 1 est inclus dans ton intervalle.

* si oui, la suite n'est pas équicontinue en 1, car sinon, pour tout [tex]\varepsilon>0[/tex], on pourrait trouver [tex]\alpha>0[/tex]
tel que [tex]|1-t|<\alpha\implies |1-t^n|<\varepsilon[/tex] pour tout entier n. Pour [tex]\varepsilon=1/2[/tex], ca ne peut pas fonctionner, car on choisit
[tex]t=1-\alpha/2[/tex] et on faire tendre n vers l'infini.

* si non, la réponse est oui, car, pour tout intervalle fermé [a,b] inclus dans ]0,1[, la suite des dérivées est uniformément bornée
sur cet intervalle. Il suffit alors de vérifier la définition de l'uniforme continuité en un point en utilisant l'inégalité des accroissements
finis.

Fred.