Forum de mathématiques - Bibm@th.net

amatheur

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algèbre

salut
j ai des difficultés à résoudre un exo, si vous pourriez m'indiquer une piste je vous serais reconnaissant.

Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative notée [tex]\times [/tex]
Montrer qu’il existe [tex]e\in E\,tq\,\,e\times e=e[/tex]

Merci.

Roro

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Re : algèbre

Bonjour,

J'essayerai de montrer que l'application [tex]\phi:x\to x\times x[/tex] admet un point fixe. Tout d'abord en montrant qu'une des composées [tex]\phi\circ \phi \circ \cdots \circ \phi[/tex] en admet un.

Roro.

freddy

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Re : algèbre

Salut,

quelles sont les autres propriétés de ta lci ?

amatheur

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Re : algèbre

salut
merci ROro , je vais tenter cette approche.
@ freddy , je n ai pas bien saisi le sens de ta question. es ce que vous vous demandez si la loi aurait d'autres propriétés? la réponse est non selon l'énoncé.

freddy

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Re : algèbre

Salut,

j'avais mal lu, je pensais que E n'était pas fini.

Puisque E est fini, sois tu as un tableau carré représentatif de la loi, sois tu as une règle de fabrication. Dans les deux cas, l'idée de Roro est la bonne, compose, compose et grâce à l'associativité, tu devrais pouvoir conclure.

amatheur

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Re : algèbre

salut
voici ce que j'ai réussis à faire.
toute composition de l'application [tex]\phi [/tex]  est également une application de E dans E, et comme E  est finit, et pour tous[tex]\X [/tex]de E il existe nécessairement deux entiers différents  p et q; tq la p ème et la q émé composées de [tex]\phi [/tex] sont égales,[tex]{\phi }_{p}\left(x\right)={\phi }_{q}\left(x\right)[/tex]
si on a p<q ( nécessairement un des deux doit être inférieur à l'autre)  :
[tex]{X}^{\times 2p}={X}^{\times 2q}\,\Rightarrow X={X}^{\times 2\left(p-q\right)}\Rightarrow {\phi }_{\left(p-q\right)}\left(X\right)=X[/tex] , cad qu'elle admet un point fixe!
maintenant, je ne vois toujours pas le bout du tunel! j'ai pensé à démontrer que l'application [tex]\phi [/tex] peut toujours être exprimée en fonction d'une composition d'une même application, sur ça aussi je bute, et je ne sais même pas si c'est vrai!
alors les gars, je solliciterai encore votre aide pour la suite ^^.
MERCI

Fred

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Re : algèbre

Salut,

  Je ne sais pas si on peut faire plus simple pour conclure, mais voici une solution terminant le début proposé
par Roro. Tu sais donc que tu as p<q tel que
[tex]x^{*p}=x^{*q}[/tex]

On va écrire [tex]p=q-l[/tex]. Si 2l=q, il n'y a rien à faire, car tu as déjà
[tex]x^{*l}=x^{*2l}[/tex]
Sinon, on peut supposer que [tex]l>q/2[/tex]. En effet, tu peux écrire que
[tex]x^{*2q}=x^{*q+p}[/tex] et tu repars avec q'=2q et p'=q+p.

En composant n fois ton identité de départ, tu sais que
[tex]x^{*nq}=x^{*np}[/tex]
Mais, dans le terme de droite, tu as des [tex]x^{*q}[/tex] qui apparaissent, tu peux les simplifier en [tex]x^{*p}[/tex]. Si tu fais cette simplification r fois, alors
tu obtiens
[tex]x^{*np}=x^{*np-r(q-p)}[/tex]
Le but maintenant est de trouver n et r de sorte que
[tex]nq=2(np-r(q-p))\iff nq=2(nq-nl-rl)\iff n(q-2l)=2rl[/tex]
C'est vérifié si n=2l et r=(q-2l).

Par exemple, si tu avais démontré que [tex]x^5=x^3[/tex], cette méthode te donne n=4, et donc
[tex]x^{20}=x^{12}=x^7x^5=x^7x^3=x^{10}[/tex]
ce que tu voulais.

Fred.

amatheur

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Re : algèbre

salut

Mais, dans le terme de droite, tu as des [tex]x^{*q}[/tex] qui apparaissent, tu peux les simplifier en [tex]x^{*p}[/tex]. Si tu fais cette simplification r fois, alors
tu obtiens
[tex]x^{*nq}=x^{*np-r(q-p)}[/tex]

Merci Fred, mais ce point m'échappe un peu, je n'arrive pas à reproduire la formule, es ce tu peux être un peu plus explicite stp.
sinon le reste de la démonstration est très clair.
Merci.

Fred

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Re : algèbre

Re-

  Forcément, je me suis planté entre les p et les q. Je corrige (j'ai aussi corrigé le message initial) :
[tex]x^{np}=x^{np-q+q}=x^{np-q}x^q=x^{np-q}x^p=x^{np-(q-p)}[/tex]
et tu répètes cette opération r fois.

Fred.

amatheur

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Re : algèbre

salut
ok, maintenant je vois mieux, merci beaucoup.  mais en gros, elle n'est pas du tout évidante cette démonstration!

Fred

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Re : algèbre

Pas du tout....
Dans quel contexte as-tu eu cette question?

amatheur

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Re : algèbre

salut
c'est juste un exo isolé. sans suites!