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freddy

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Re : Au moins 6 ...

Pour jpp, solution de BL

Démontrons que pour tout ensemble de 4 points distincts du plan (A, B, C, D) vérifiant les conditions de l'énoncé, il existe un couple de point dont la distance est divisible par 3.

On note les angles suivants : [tex]\alpha=\widehat{CAD},\;\beta=\widehat{DAB},\;\gamma=\widehat{BAC}[/tex]

On sait que [tex] \alpha+\beta+\gamma \equiv 0 \,(mod\,2\pi) [/tex], donc [tex]\cos\alpha=\cos(\beta+\gamma)[/tex]. On a alors :

[tex]\cos\beta \cos\gamma-\cos\alpha =\sin\beta \sin \gamma \Rightarrow  (\cos\beta \cos\gamma-\cos\alpha )^2=(1-\cos^2\beta)(1-\cos^2\gamma) [/tex]

[tex]\Rightarrow \cos^2\alpha + cos^2\beta + \cos^2 \gamma = 1+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma[/tex]

On note maintenant :  [tex]x = AB,\, y = AC,\, z = AD,\, t = BC,\, u = CD\, et\, v = BD[/tex], tous strictement positifs par hypothèse.

En utilisant la relation d'Al-Kashi, on obtient :

[tex]\cos\alpha = \frac{y^2+z^2 - u^2}{2yz},\; \cos\beta = \frac{x^2+z^2 - v^2}{2xz},\;\cos\gamma = \frac{x^2+y^2 - t^2}{2xy}[/tex]

Après  multiplication de chaque membre par [tex]4(xyz)^2[/tex],  on a :

[tex]x^2(y^2+z^2-u^2)^2+y^2(x^2+z^2-v^2)^2+z^2(x^2+y^2-t^2)^2\\
=4(xyz)^2+(y^2+z^2-u^2)(x^2+z^2-v^2)(x^2+y^2-t^2)[/tex]

Si aucun des entiers x, y, z, t, u et v n'était divisible par 3, chacun des entiers [tex]x^2,\, y^2,\, z^2,\, t^2,\, u^2 \,et\, v^2[/tex] serait congru à 1 modulo 3. Le membre de gauche de l'égalité ci-dessus serait alors congru à 0 modulo 3, et celui de droite à 2 modulo 3, ce qui est impossible. Q. E. D

Le reste est comme la première solution.

Dernière modification par freddy (02-06-2012 20:49:46)

totomm

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Re : Au moins 6 ...

Bonjour,

J'aime aussi les démonstrations qui s'appliquent à des cas pouvant exister. Par exemple on peut trouver 4 points dans le plan situés à des distances entières les uns des autres, et dont une seule de ces 6 distances est divisible par 3.

Le triangle ABC dont AB=74, BC=76, CA=50 possède un point M sur le coté AC tel que MA=29, MB=71 et MC=21
Le triangle ABC dont AB=30, BC=31, CA=37 possède un point M intérieur tel que MA=26, MB=20 et MC=13
On a donc alors pu prouver de façon simple que, pour tout ensemble de 4 points du plan situés à des distances entières les uns des autres, au moins une de ces 6 distances est divisible par 3.

Prenons donc maintenant la " Généralisation à n > 3 points" du post #50 qui conduit a conclure :

Pour un ensemble de 9 points, il y a 36 distances possibles et donc au minimum 6 de longueur multiple de 3.

Il ne peut exister d'ensemble de 9 points (dans le plan situés à des distances entières les uns des autres) ayant 6, 7,...8 seulement de ces distances de longueur multiple de 3 :
Vous voyez pourquoi ?

L'opération  [tex]\binom{n}{4}/\binom{n-2}{2}[/tex] a-t-elle un sens pour l'ensemble et les sous-ensembles considérés ?

Cordialement