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samo12

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analyse fonctionneL

Bonsoir,
J'ai une question,
Lemme:
Soit C une partie convexe absorbante et équilibrée non vide alors Jc (la jauge) est une semi norme.
Proposition:
Soient E un K espace vectoriel, et C une partie convexe de E équilibrée et a n'appartient pas à C
Si C est un ouvert alors il existe f linéaire continue telle que f(a)=1 et |f(x)|<1 quelque soit x dans C.
Pour démontrer cette proposition on a utilisé le lemme ci- dessus mais le problème est qu'on a pas le fait que C est une partie absorbante.
Comment peut-on dire que Jc est une semi norme si on a pas C absorbant??merci de m'aider

Dernière modification par samo12 (04-05-2012 21:14:48)

Fred

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Re : analyse fonctionneL

Salut Samo12,

  Non, en général Jc n'est pas une semi-norme si C n'est pas absorbant.
Mais j'imagine (il faudrait que je puisse lire les détails de la démonstration) que ton prof
n'a pas voulu appliquer directement le lemme à C, mais au plus petit convexe absorbant contenant C
(qui ne contient toujours pas a).

Fred.

samo12

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Re : analyse fonctionneL

Re,
Et lorsque on applique le lemme au plus petit convexe absorbant contenant C  Jc devient une semi norme? j'ai pas bien compris pourrais -tu me le réexplique avec détails  et merci d'avance :)

Fred

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Re : analyse fonctionneL

Tu définis K le plus convexe absorbant contenant C, et tu appliques le lemme à K, qui te donne une semi-norme Jk qui doit convenir.

F.

samo12

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Re : analyse fonctionneL

Mais notre prof a appliqué le lemme pour C donc il a du trompé non?

Fred

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Re : analyse fonctionneL

Sans pouvoir lire en entier la démonstration de ton prof, je ne peux pas affirmer : "il s'est trompé".
Mais on ne peut pas appliquer ton lemme à un convexe non absorbant.

Fred.

samo12

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Re : analyse fonctionneL

Re,
D'accord merci :) (désolée je voulais dire il a du se tromper"

samo12

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Re : analyse fonctionneL

Bonsoir,
Comme C est un ouvert contient 0 alors C est absorbant (mais le problème O appartient à C  par le fait que C est équilibré ou C convexe??)