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#1 21-04-2012 13:30:21
- Joe Black
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Détermination du point critique d'une fonction de deux variables.
Bonjour.
Je bloque sur un exercice d'un DM (prépa ENS Cachan D2) depuis plusieurs heures et j'aimerais solliciter votre aide.
Pour l'instant, c'est la question 4 qui me pose problème mais je recopie l'ensemble de l'exercice au cas où la solution réside dans une question antérieure ou postérieure.
SUJET
On considère la fonction f définie pour tout réel x par : [tex]f(x)=x+1+2e^x[/tex] ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par : [tex]g(x;y)=(x+y^2+e^x)e^x[/tex]
1) Etudier les variations de f et donner les limites de f(x) lorsque x tend vers +infini et -infini
2) Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de -infini et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote.
3) Déduire des variations de f l'existence d'un unique réel a, élément de l'intervalle [-2;-1] tel que f(a)=0 (on rappelle que e~=2,7)
4) Déterminer le seul point critique de g, c'est à dire le seul couple de R², en lequel g est susceptible de présenter un extremum.
5) Vérifier que g présente un extremum relatif b en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?
6) Montrer que l'on a 4b+a²-1=0
Pour les trois premières questions, aucun souci :
1) f est strictement croissante sur R, les limites demandées sont respectivement +infini et -infini.
2) L'asymptote oblique a pour équation y=x+1 et elle est toujours en dessous de Cf
3) On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver ce qui est demandé.
Pour la question 4), j'ai déterminé le gradient qui a, sauf erreur de ma part, pour coordonnées :
[tex](e^x)*(2e^x+2y²+x+1)[/tex] et [tex](e^x)*(2y+x+e^x)[/tex]
Je cherche pour quel couple (x;y) le gradient égale (0;0) mais quelles que soient les simplifications opérées, j'aboutis systématiquement à des équations que je ne sais pas résoudre. J'ai aussi essayé de trouver empiriquement une solution en fixant x à des valeurs simples (0 ; 1 ; -1 ; ...) mais sans succès également.
Que dois-je faire ? Comment dois-je procéder ?
Merci par avance pour votre aide.
Joe Black
Dernière modification par Joe Black (23-04-2012 11:27:01)
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#2 21-04-2012 14:45:46
- totomm
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Re : Détermination du point critique d'une fonction de deux variables.
Bonjour,
En corrigeant vos dérivées de g, vous trouverez que a et 0 font une bonne paire
et vous vérifierez alors facilement la question 6 avec b=g(a;0)
Cordialement
Hors ligne
#3 21-04-2012 23:39:44
- Joe Black
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Re : Détermination du point critique d'une fonction de deux variables.
Merci beaucoup pour votre réponse.
Cependant, vous me dites de corriger mes dérivées... j'ai refait le calcul un grand nombre de fois et je trouve toujours les mêmes.
Le couple (a;0) convient pour que la première s'annule mais pas pour la deuxième. Si je fixe [tex]y=0[/tex] j'ai alors [tex]x+e^x=0[/tex] et il ne semble pas que a soit solution de cette équation. Je ne comprends pas.
Joe Black
Dernière modification par Joe Black (22-04-2012 01:02:02)
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#5 22-04-2012 08:13:08
- totomm
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Re : Détermination du point critique d'une fonction de deux variables.
Bonjour,
Avec g(x;y)=(x+y2+ex)ex, si je dérive par rapport à y je considère x comme constant
alors g'y=2y.ex d'où g'y=0 pour y=0
Exemple (wikipedia)
Considérons le volume d'un cône V ; il dépend de la hauteur h et du rayon de la base r suivant la formule
[tex] V = \frac{ r^2 h \pi }{3}[/tex]
La dérivée partielle de V par rapport à r est [tex] \frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}[/tex]
La dérivée partielle par rapport à h est [tex] \frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3} [/tex]
Cordialement
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