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mathieu64

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Urne de polya

Bonjour, je viens de faire un exo sur les urnes de polya qui consistait à montrer que la proportion de boule d'une des 2 couleur était une martingal. Le problème est que bien que j'ai trouvé la solution, le résultat ne me paraît pas clair.  Si on a beaucoup de boules de l'une des 2 couleurs  j'ai l'impression que on peut prévoir une augmentation rapide de ces boules donc je ne vois pas trop pourquoi c'est une martingal.      Merci d'avance.

Au passage j'ai trouvé que la proportion d'une couleur tend presque sûrement vers 0,5 et donc que la quantité de boule tend vers l,infini presque sûrement. Est ce que c'est vrai car ça ne me paraît pas intuitif non plus

Dernière modification par mathieu64 (14-04-2012 15:27:56)

freddy

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Re : Urne de polya

Salut,

si tu ne donnes aucune définition d'une martingale, comment veux tu qu'on te réponde ?

Par ailleurs, ta découverte est d'une grande naïveté : le nombre de boule est croissant et la proportion d'une couleur tend vers 1/2, ben oui, and so what  ?

mathieu64

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Re : Urne de polya

Salut,
Grande naiveté je sais pas on pourrait imaginer que dans certain cas la proportion d'une couleur explose et dans d'autre pas.
Mais bon si c'est clair pour tout le monde je me range.
Après la martingale c'est la suite de variable aléatoire xn/n+2  ou xn est le nombre de boules rouges pour la filtration classique.

freddy

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Re : Urne de polya

Salut,

connais tu ce travail : www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/LES_URNES_DE_POLYA_6.pdf ?

mathieu64

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Re : Urne de polya

Salut
Ce poly correspond plus à mon intuition  mais du coup si on part avec 1 boule blanche et 1 boule rouge (on note xn le nombre de boules rouges)  la proportion xn/(n+2) ne tend pas presque surement vers 0,5 comme je le disais en haut. Donc j'ai du faire une erreur non? Ah sinon j'ai fais une faute dans le premier post je voulais dire le nombre de boule rouge tends ps vers l'infini pas le nombre de boules totale.

Dernière modification par mathieu64 (16-04-2012 09:47:53)

mathieu64

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Re : Urne de polya

Ça y est on peut fermer le post, j'ai compris mon erreur. j'avais montré que mn= xn/(n+2) était une martingale ce qui est vrai. Par contre après j'ai calculé l'espérance de mn j'ai trouvé 0,5 et j'ai conclut un peu vite que mn convergait vers 0,5 (convergence l1 ce qui est faux puis convergence ps par théorème de martingale). Finalement on trouve une convergence en loi vers la loi uniforme et une convergence ps vers un truc dont on ne connaît que la loi.

freddy

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Re : Urne de polya

Salut,

OK !