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abdoullah

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matrice d'un endomorphisme

Bonsoir SVP j'ai une question :
"
Soit E=|R³ rapporté à une base (e1,e2,e3) ,
et f l'endomorphisme représenté par la matrice : [tex]\left(\begin{array}{ccc}4&-1&5\\-2&-1&-1\\-4&1&-5\\\end{array}\right)[/tex]
*Determiner une base de Ker(f) et une base de Im(f).
"
J'ai essayé de rtrouver la forme de l'endomorphisme de E ca va etre etre d'un triplet issu des coordonnées qui sont dans la matrice mais cela ca marche si la base (e1,e2,e3) est canonique ce qui n'est pas sur.
Pouvez vous me donner une idée SVP?
Merci pour vos réponses.

freddy

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Re : matrice d'un endomorphisme

Salut,

pourquoi donc veux tu que la base soit canonique ?

Si [tex]X=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3[/tex], alors [tex]f(X)=a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+a_3f(e_3)[/tex],

avec, par exemple, [tex]f(e_1)=4e_1-2e_2-4e_3[/tex], [tex]f(e_2)=-e_1-e_2+e_3[/tex] et [tex]f(e_3)=5e_1-e_2-5e_3[/tex]

Donc [tex]f(X)=(4a_1-a_2+5a_3)e_1 -(2a_1+a_2+a_3)e_2 +(-4a_1+a_2-5a_3)e_3[/tex]

Donc, pour trouver le noyau de l'endomorphisme, il faut que les coordonnées de X vérifient :

[tex]4a_1-a_2+5a_3=0[/tex]

[tex]2a_1+a_2+a_3=0[/tex]

[tex]-4a_1+a_2-5a_3=0[/tex]

et là, je te laisse finir (tu trouveras que le noyau de l'endomorphisme est de dimension 2, et donc l'image de dimension 1)

Dernière modification par freddy (14-04-2012 10:25:41)

abdoullah

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Re : matrice d'un endomorphisme

Re ,
Merci freedy pour ta réponse j'ai pensé à faire une chose , dites moi SVP si c'est bien ou pas :
Alors SVP est ce qu'on peut agir de la sorte sans résoudre d'équations ? :
on pose
[tex]c_1=(4,-2,-4) \;;\; c_2=(-1,-1,1)\; ;\; c_3=(5,-1,-5)[/tex]
(se sont les vecteurs colonnes de la matrice de l'endomorphisme)
On a dim Ker(f) =2 donc on prend [tex](c_2,c_3)[/tex](elle est libre) une base du ker.
et on prend ([tex]c_1[/tex]) une base de l'image puisque dim Im(f)=1
Est ce que je peux agir de la sorte ?
Merci pour vos réponses.

Dernière modification par abdoullah (14-04-2012 15:38:20)

freddy

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Re : matrice d'un endomorphisme

Salut,

si tu ne résouds aucune équation, comment sais tu que la dimension du noyau = 2 ?

abdoullah

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Re : matrice d'un endomorphisme

Bonsoir,
D'abord on a fait une petite faute de calcul rg(M(f))=2=dim(Im(f)) => dim Ker(f)=1 (th du rang).
Et pr le rang de la matrice on utilise les operatipns sur les colones.
Merci

freddy

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Re : matrice d'un endomorphisme

Bonsoir,
D'abord on a fait une petite faute de calcul rg(M(f))=2=dim(Im(f)) => dim Ker(f)=1 (th du rang).
Et pr le rang de la matrice on utilise les opérations sur les colonnes.
Merci

C'est bien, je vois que tu suis !

Oui, je suis d'accord, je suis allé trop vite. Cela étant, tu es toujours à la recherche d'une base pour chacun  de ces deux sev. Et je ne suis pas certain que tu puisses te passer d'une ligne de calcul.

Dernière modification par freddy (15-04-2012 07:00:35)

freddy

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Re : matrice d'un endomorphisme

Donc, pour trouver le noyau de l'endomorphisme, il faut que les coordonnées de X vérifient :

[tex]4a_1-a_2+5a_3=0[/tex]

[tex]2a_1+a_2+a_3=0[/tex]

[tex]-4a_1+a_2-5a_3=0[/tex]

Il faut partir de là !

On trouve [tex]a_2=0\,et\, a_1=-a_3[/tex] et donc une base de Ker(f) est donnée par le vecteur [tex]e_1-e_3[/tex]

Dernière modification par freddy (15-04-2012 08:37:47)