Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

Membre

Inscription : 31-03-2011

Messages : 236

Polynômes de Legendre

Salut, j'ai une petite question que je n'arrive pas à  résoudre et merci de m'y aider ;)
Pn(x) = la dérivée n ièmepar rapport à x  de (x²-1) à la puissance n  . et on  me demande de calculer Pn(1) et je suis bloqué sur ça . Désolé, je pouvais pas écrire en Latex car je connais pas comment écrire une dérivée ( avec Latex) alors ne vous fâchez pas contre moi et merci de me répondre. j'ai besoin de vos aides :))

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Polynômes de Legendre

Salut,

Pour les dérivées première, 2nde, 3e... évident, je n'en parle pas.
Pour la dérivée nième de P, 2 solutions (tout comme "à la main") :
* [tex]P^{(n)}(x)[/tex]  avec parenthèses autour de n : ainsi pas de confusion avec [tex]P^n(x)[/tex],
* [tex]\frac{d^nP}{dx^n}[/tex]

Je subodore une "sombre histoire" de factorielle avec les coeff...
Sur le fond, le temps que j'aie trouvé (je manque de temps maintenant : je m'y pencherais dessus ce soir), un petit malin aura surement la réponse : dans ce cas qu'il ne se gêne pas !

@+

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Polynômes de Legendre

Bonjour Samo,

  Connais-tu la formule de Leibniz??? Parce que si oui, je procèderais comme ceci :

[tex]P_n(x)=(x-1)^n(x+1)^n=A(x)B(x)[/tex]

Je calcule la dérivée n-ième du produit en utilisant la formule de Leibniz et une très jolie chose arrive quand je veux évaluer en 1 :
la plupart des dérivées de A s'annulent en 1 (toutes, sauf une, celle qui est d'ordre n).

Fred.

samo12

Membre

Inscription : 31-03-2011

Messages : 236

Re : Polynômes de Legendre

Bonjour Samo,

  Connais-tu la formule de Leibniz??? Parce que si oui, je procèderais comme ceci :

[tex]P_n(x)=(x-1)^n(x+1)^n=A(x)B(x)[/tex]

Je calcule la dérivée n-ième du produit en utilisant la formule de Leibniz et une très jolie chose arrive quand je veux évaluer en 1 :
la plupart des dérivées de A s'annulent en 1 (toutes, sauf une, celle qui est d'ordre n).

Fred.

Bonjour, oui je connais la formule de Leibniz et je vais essayer avec elle et je te donnerai le résultat dés que je le trouve :) merci bien

Dernière modification par samo12 (28-03-2012 11:39:10)

Jules Césor

Invité

Re : Polynômes de Legendre

Heu, salut.                                          (j'ai comme l'impression que ça aboutira à une démonstration par récurence mais bon).
J'avoue que je ne comprends pas bien la question; pourquoi ne pas faire ceci:
[tex]\frac{{d}^{\,n}f{\left(x\right)}^{n}}{{x}^{\,n}}=n\left(\frac{{d\,f\left(x\right)}^{}}{x}\right)\times \,f{\left(x\right)}^{\,\left(n-1\right)}\,d'ou\,{P}_{1}\left(x\right)=2x\,\times \,1\,\times \,{\left({x}^{2}-1\right)}^{0}  =\,2x [/tex]
Maintenant j'aimerai savoir si ton objectif est bel et bien de conjecturer Pn(x)?