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Daudetarago

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Puissances des matrices de GLr(Z/pZ)

Bonjour à toutes et à tous

[tex](m)[/tex] désigne une matrice carrée [tex]r \times r [/tex] inversible à coefficients dans
[tex] \mathbb Z/p \mathbb Z[/tex] avec p premier  [tex](m) \in GL_r(\mathbb Z/p \mathbb Z)[/tex]

On appelle [tex] k [/tex] le plus petit entier non nul tel que [tex](m)^k=(I)_p[/tex]

[tex] (I)_p [/tex] est l'élément neutre (matrice identité) de la multiplication des matrices à coefficients dans
[tex]\mathbb Z/p \mathbb Z[/tex]

On a démontré que k était un diviseur de [tex] N = p^{\frac{r(r-1)}{2}}(p^r-1)(p^{r-1}-1)\ldots(p^2-1)(p-1)[/tex]

Une étude informatique semble montrer que quelle que soit la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z/p \mathbb Z)[/tex]

on a [tex]k\le p^r-1[/tex]

Par exemple dans [tex] GL_2(\mathbb Z/13 \mathbb Z)[/tex]

[tex] N=13^1(13^2-1)(13-1)=26208 [/tex]
On trouve
k=1 pour 1 matrice, k=2 pour 183 matrices,3(548),4(912),6(2004),7(468),8(312),12(8376),13(168),14(468),
21(936),24(624),26(168),28(936),39(336),42(936),52(336),56(1872),78(336),84(1872),156(672),168(3744)

[tex]k[/tex] est bien un diviseur de 26208 inférieur ou égal à [tex] 13^2-1=168[/tex]

Est-ce qu'il est possible de démontrer que [tex] k \le p^r-1 [/tex]
Par avance merci

Golgup

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Messages : 574

Re : Puissances des matrices de GLr(Z/pZ)

Salut,

cela n'est , je crois,  pas de mon niveaux, mais si j'ai bien compris,  si r=1, et si p ne divise pas m, m est inversible et  N=p-1 < k = (p-1)t (t entier) , et  [tex]{\left(m\right)}^{k}={I}_{p}[/tex]   ?

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