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#1 11-03-2012 09:53:41
- Picatshou
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moyenne empirique et éspérance
Bonjour tout le monde , dans le cours d'estimation je n'ai pas pu comprendre la chose suivante :
on a (X1,.........,Xn) un n-échantillon d'une variable aléatoire X associée au modèle (E,£,Pa) soit T un estimateur de a
on va montrer que la moyenne empirique [tex]\bar{X}[/tex]= [tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}Xi[/tex] est un estimateur sans biais de E(X) :éspérance de X
alors :
E([tex]\bar{X}[/tex])=[tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}E(Xi)[/tex]=E(X) ???
je n'ai pas compris le fait que:
[tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}E(Xi)[/tex]=E(X) ??
merci pour tout éclaircissement :)
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#2 11-03-2012 10:46:00
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : moyenne empirique et éspérance
Bonjour tout le monde , dans le cours d'estimation je n'ai pas pu comprendre la chose suivante :
on a (X1,.........,Xn) un n-échantillon d'une variable aléatoire X associée au modèle (E,£,Pa) soit T un estimateur de a
on va montrer que la moyenne empirique [tex]\bar{X}[/tex]= [tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}Xi[/tex] est un estimateur sans biais de E(X) :espérance de X
alors :
E([tex]\bar{X}[/tex])=[tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}E(Xi)[/tex]=E(X) ???
je n'ai pas compris le fait que:
[tex]\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}E(Xi)[/tex]=E(X) ??
merci pour tout éclaircissement :)
Salut,
commence par calculer [tex]E( \sum^{n}_{i=1}X_i)[/tex] et utilise l'additivité de l'opérateur espérance.
Mais c'est un résultat assez élémentaire, si tu as du mal là, la suite va se compliquer sérieusement.
Confie toi aux bons soins de totomn, je pressens qu'il va faire montre d'un soutien pédagogique sans faille.
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#3 11-03-2012 16:55:19
- Picatshou
- Membre
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Re : moyenne empirique et éspérance
salut,
oui malheureusement je n'ai pas pu faire la démonstration je sais que :
[tex]E( \sum^{n}_{i=1}X_i)[/tex]= [tex]\sum^{n}_{i=1}E(X_i)[/tex]
mais comment montrer que c'est égal à n*E(X) :((
merci pour tout aide
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#5 11-03-2012 21:53:46
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#6 12-03-2012 09:31:35
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : moyenne empirique et éspérance
[tex]E(X_i) = E(X)[/tex]
La suite est ensuite évidente.
Salut,
exact, puisque chaque [tex]X_i[/tex] suit, par hypothèse, la même loi, donc chacun a la même espérance (et variance aussi).
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