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florian69

Invité

Diagonalisation

Bonjour,
alors j'ai un exercice a faire mais je suis bloquer lors d'une question et cela est embetant car je pense que j'ai dut faire une erreur aux questions précédente mais je ne trouve pas ou
voici l'exo :
Soit B la base canonique de R³ et f un endomorphisme représenté par la matrcie [tex]A = \begin{pmatrix}-1&-3&0\\-3&-1&0\\3&-3&-4\\\end{pmatrix}[/tex]

1)determiner les valeurs propres de f ;
ici j'ai trouver aprés calcul bien sur les valeurs propres -4 (de multiplicité 2)et 2 (de multiplicite 1)
2) pour chaque valeur propre trouver une base du vecteur propres associé
donc on fait avec la valeur propre -4 :
On obtient un système et aprés résolution je trouve x=y
donc j'en deduis les vecteurs propres : V1= (1;1;0) et v2= (-1;-1;0)
( je pense que mon erreur est ici ) car normalement on devrait avoir deux vecteurs car -4 est de multiplicité 2) mais c'est deux vecteurs sont proportionnel donc j'en est que un et par la suite cela est embetant

Maintenant je travaille avec la valeur propre 2 :
et je trouve un vecteur V3=(1;-1;1) qui semble juste

3) Diagonaliser D ceci est bon je mets les valeurs propres sur la diagonale

4) exprimer la matrice de passafe de B a B' puis sont inverse

Ici je bloque car j'ai la matrice de passage mais pas sont inverse , que je n'arrive pas a trouver
la matrice de passage je prends mes vecteurs et je les mes en colonne mais apres impossible de trouver sont inverse et je pense que cela viens des vecteurs propres de la valeur -4
Merci de m'aider juste a cette question et me corriger si j'ai faux ailleur
merci

Roro

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Re : Diagonalisation

Bonsoir florian69,

Tu as raison, ton erreur est dans le calcul des vecteurs propres associés à la valeur propre double -4 (je n'ai pas refait tes calculs, je les considère comme justes).

Si ton calcul est juste cet espace propre est engendré par les vecteurs (x,y,z) tels que x=y, c'est-à-dire par les vecteurs de la forme (x,x,z) où x et z sont des réels quelconque. Autrement dit ton espace est engendré par (1,1,0) et (0,0,1).

Remarque qu'il n'était pas certain (comme tu sembles le dire) que l'espace propre engendré par cette valeur propre (même double) soit de dimension 2...

Roro.

florian69

Invité

Re : Diagonalisation

merci ,
oui mais si la dimension n'est pas 2 alors la matrice n'est pas diagonalisable

Roro

Membre expert

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Re : Diagonalisation

Re,

mais qui te disait qu'elle était diagonalisable ?

Roro.

florian69

Invité

Re : Diagonalisation

Je vais remettre l'exercice avec toutes l'argumentation et dite moi  ou j'ai faux   merci car je ne comprends pas pour moi elle est diagonalisable;
alors
Soit B la base canonique de R^3 et f un endomorphisme representé par la matrice
[tex]A=\left(\begin{array}{ccc}-1&-3&0\\-3&-1&0\\3&-3&-4\\\end{array}\right)[/tex]

1) Determiner les valeurs propres de f ?
On va calculer le polynôme caractéristique ;  [tex]{P}_{A}\left(X\right)[/tex] ;

[tex]{P}_{A}\left(X\right)[/tex] =det  [tex]\left|A-Xi{d}_{3}\right|[/tex] = [tex]\left|\begin{array}{ccc}-1-X&-3&0\\-3&-1-X&0\\3&-3&-4-X\\\end{array}\right|[/tex] ; aprés calcul du determinant nous trouvons ;

[tex]{p}_{A}\left(X\right)=\left(-4-X\right)\left({X}^{2}+2X-8\right)[/tex]
Aprés le calcul des racines nous avons :  [tex]{P}_{A}\left(X\right)=-{\left(x+4\right)}^{2}\left(X-2\right) d'ou\,les\,valeurs\,propres\,qui\,sont\,-4\left(de\,multiplicité\,2\right)et\,2\left(de\,multiplicité\,1\right)[/tex]

2)Pour chaque valeur propre trouver une base du  vecteur propre associé ;
On résout avec le sous espace vectoriel  [tex]{E}_{-4}[/tex]
AX=-4X
AX+4X=0
(A+4Id)X=0

[tex]A+4Id=\left(\begin{array}{ccc}3&-3&0\\-3&3&0\\3&-3&0\\\end{array}\right)[/tex]
d'où le système
3x-3y=0
-3x+3y=0     
3x-3y=0
ce qui implique que x=y

donc on a deux vecteurs propres qui sont :  [tex]{V}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}\right)et\,{V}_{2}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\\end{array}\right)[/tex]

On va etudier maintenant l'espace
[tex]{E}_{2}[/tex]
AX=2X
AX-2X=0
(A-2Id)X=0
On a pareil un système et l'on trouve un 3eme vecteur  [tex]{V}_{3}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\\end{array}\right)[/tex]

3)Trouver une base B' dans laquelle f est représentéé par D= [tex]\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&0\\0&0&b\\\end{array}\right)avec\,a\,et\,b\,réels\,que\,l'on\,deter\min era\,vérifiant\,|a|\leq |b|[/tex]

Soit B'(V1,V2,V3) =  [tex]\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\\end{array}\right)\right)[/tex]
et D= [tex]\left(\begin{array}{ccc}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&2\\\end{array}\right)[/tex]

4)Exprimer la matrice de passage de Bà B' puis sont inverse ;

P= [tex]\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&0&-1\\0&1&1\\\end{array}\right)et\,{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/2&1/2&0\\-1/2&1/2&1\\1/2&-1/2&0\\\end{array}\right)=1/2\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&1&2\\1&-1&0\\\end{array}\right)[/tex]
merci de me dire si tu ceci est juste

Fred

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Re : Diagonalisation

Salut,

  Je n'ai absolument pas vérifié tes calculs, mais cela a l'air correct.
Sauf pour la question 3, où on n'a pas |-4|<=|2|.

Fred.

florian69

Invité

Re : Diagonalisation

ah oui j'avais oublier ces conditions mais pourtant D est la matrice qui est diagonalisable donc sur la diagonale on mets les valeurs propres? ce qui rejoint a dire ce que Roro avait dit cette matrice n'est pas diagonalisable

Fred

Administrateur

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Re : Diagonalisation

Ben non, la matrice est diagonalisable. Je ne sais pas d'où tu sors ces conditions. Ici la matrice diagonale que tu donnes est la bonne!