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Dico

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K[X]-module

svp aidez moi avec ce problème d'algèbre.

soit v et w deux K-espaces vectoriel qu'on muni d'une structure de K[X]-module via les endomorphismes [tex]\alpha[/tex] sur v et [tex]\beta[/tex].
montrer que v est isomorphe à w ssi [tex]\alpha=\gamma^{-1}\circ\beta\circ\gamma[/tex] pour tout isomorphisme [tex]\gamma: v\to w[/tex]

Roro

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Re : K[X]-module

Bonsoir fotsing,

Le résultat (tel que tu l'énonces) me semble faux. En tout cas, si je note
A : "[tex]v[/tex] est isomorphe à [tex]w[/tex]"
B : "[tex]\alpha=\gamma^{-1}\circ \beta \circ \gamma[/tex]  pour tout isomorphisme [tex]\gamma:v \rightarrow w[/tex]"
alors il semble évident que non(A) implique B. J'imagine donc pas trop que A implique B...

J'aurais peut être pu répondre de façon plus "classique" mais étant donnée la formulation de ta requête, j'attendrais que tu nous donne plus de précision sur ce que tu as fais (et sur la "vraie" question, en particulier sur la notion d'isomorphisme d'espace vectoriel ou de module)...

Roro.

Dernière modification par Roro (28-02-2012 22:10:37)

Dico

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Re : K[X]-module

Slt Roro,
    Tu as en fait raison sur plus d'un point.
- si v n'est pas isomorphe à w alors il n'existera aucun isomorphisme entre v et w et B serait vraie 
- le problème s'énonce plutôt
monter que v isomorphe à w ssi il [tex]\mbox{existe}[/tex] un isomorphisme d'espaces vectoriels [tex] \gamma: v\to w [/tex] tel que [tex] \alpha=\gamma^{-1}\circ\beta\circ\gamma [/tex]
-il s'agit des espaces vectoriels sur le corps K et de module des polynomes à coefficients dans K
-exemple: pour x dans v [tex] p(x)=\alpha(x) + \alpha^2(x)[/tex]

Dernière modification par Dico (03-03-2012 14:45:35)

Dico

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Re : K[X]-module

Remarqu'on que l'ismorphisme entre v et w devra être un isomorphisme de modules

Roro

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Re : K[X]-module

Bonsoir fotsing,

Bon, si j'ai bien compris, ce que tu veux démontrer c'est l'équivalence entre
i) il existe un isomorphisme de modules [tex]f:v\rightarrow w[/tex];
ii) il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels [tex]g:v\rightarrow w[/tex] tel que [tex]g\circ \alpha = \beta \circ g[/tex].

Pour la partie i) [tex]\Rightarrow[/tex] ii), il suffit d'utiliser les constantes de [tex]K[X][/tex] dans la définition d'isomorphisme de module (en particulier dans la propriété [tex]f(Px)=Pf(x)[/tex] que doit vérifier un morphisme de modules).

Pour la réciproque, tu peux utiliser le fait que la relation [tex]g\circ \alpha = \beta \circ g[/tex] implique les relations [tex]g\circ P(\alpha) = P(\beta) \circ g[/tex] pour tout polynôme de [tex]K[X][/tex].

Roro.

Dico

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Re : K[X]-module

Slt Roro ou à tous
     Tu as en fait bien reformulé le problème.
Je vais raffiner ton raisonnement et d'ici demain on verra si j'arrive.

Bonne après midi.