Forum de mathématiques - Bibm@th.net

blink

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analyse numerique

Bonjour j ai un probleme et je n arrive pas a trouver la solution.

soit l integrale de fresnel
I(X) = [tex]\int_{0}^{X}\,cos{0.5}{\pi}{t^2}\, dt\,[/tex]

je dois donner une approximation de i(x) par un polynome de taylor autour de x=0 de degre minimal avec une erreur d au plus  10^-4 pour -1/2 <x<1/2

je trouve des developpement bizarre et j arrive pas a majorer mes expressions, merci de m aider et de me donner des explication

thadrien

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Re : analyse numerique

Salut,

Dans ce genre de problème, il ne faut absolument pas chercher à exprimer explicitement la primitive, et à en faire ensuite un développement limité.

Il faut :

1/ Faire un développement limité à l'ordre n (pour l'instant inconnu) de l'intégrande : [tex]\cos{(0,5 \pi t^2)} = 1 - \frac{(0,5 \pi t^2)^2}{2!} + \frac{(0,5 \pi t^2)^4}{4!} + ...  (-1)^2\frac{(0,5 \pi t^2)^{(2n)}}{(2n)!} + o(2n + 1)[/tex]

2/ Intégrer ce développement limité : [tex]I(x) = ...[/tex] (à toi de compléter !)

3/ Trouver la valeur de n qui majore d'erreur dans les limites imposées.

Reviens nous voir avec ton développement, et on t'aidera ensuite pour les majorations.

pedestre

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Re : analyse numerique

Bonjour,

Il s'agit d'un problème de majoration sur tout un intervalle (]-1/2,1/2[). Une formule de type Young (avec reste en o(..)) ne peut absolument servir à rien ici.

Nous allons utiliser une formule d'inégalité de Taylor-Lagrange:
[tex]cos(u)=1-\frac{u^2}{2!}...+(-1)^p \frac{u^{2p}}{(2p)!}+R_{2p+1}(u)[/tex]
avec ici [tex]u=0,5 \pi t^2[/tex] et donc [tex]0\leq u <0,5 \pi/4<0,4[/tex]  et l'inégalité de Taylor nous donne [tex]|R_{2p+1}(u)|\leq \sup\limits_{0\leq u<0,4}|\frac{u^{2p+1}}{(2p+1)!}sin u|[/tex]  (puisque la dérivée d'ordre 2p+1 de cos u est +/-sin u).
Finalement [tex]|R_{2p+1}(u)|\leq \frac{0,4^{2p+2}}{(2p+1)!}[/tex]. Et donc [tex]|\int_0^X R_{2p+1}(u(t)) dt|\leq |X\frac{0,4^{2p+2}}{(2p+1)!}|\leq \frac{0,4^{2p+2}}{2(2p+1)!}[/tex].

Il nous suffira donc d'assurer que la valeur absolue de ce reste soit inférieure à [tex]\frac{10^{-4}}{2}[/tex] (on conserve [tex]\frac{10^{-4}}{2}[/tex] de marge pour les calculs). Un calcul rapide montre que p=2 est suffisant (l'erreur est en fait majoré par [tex]2 .10^{-5}[/tex]). Il reste donc à calculer :[tex]\int_0^X 1-\frac{(0,5\pi)^2 t^4}{2}+\frac{(0,5\pi)^4 t^8}{24}   dt[/tex].

ndickou diop

Invité

Re : analyse numerique

bonsoir je voudrais savoir une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite arithmétique réelle soit de Cauchy