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samo12

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espace fonctionnel

Salut, j'ai besoin de vos aides : J' ai un corollaire dans mon cours que je n'ai pas compris sa démonstration:
Corollaire : Soient  E et F deux e.v.n avec F est complet et (Tn) une suite équicontinue de L(E,F) converge simplement sur une partie D de E, D est partout dense dans E, alors la suite (Tn) converge uniformément sur tout compact de E, et la limite est une application continue de E dans F.
Ce que j'ai pas compris dans la démonstration est " Soit Tn une suite équicontinue sur D avec l'adhérence de D = E donc Tn est de Cauchy sur la topologie de la convergence simple sur D" pourquoi Tn est de cauchy?

Fred

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Re : espace fonctionnel

Bonjour,

  C'est un peu bizarre ce que tu écris. En effet, pour parler de suite de Cauchy, il faut avoir un espace métrique.
Et la topologie de la convergence simple n'est pas, en général, métrisable.

En revanche, ce qu'on peut faire, c'est démontrer que pour chaque x de E, la suite [tex](T_n(x))[/tex] est de Cauchy.
Pour cela, voici comment faire. Comme ta suite est équicontinue, tu sais qu'il existe une constante C telle que
[tex]\|T_n\|\leq C[/tex] pour chaque n. Fixons maintenant x dans E et soit [tex]\epsilon>0[/tex].
Alors, puisque D est dense dans E, on peut trouver y de D tel que [tex]\|x-y\|\leq \epsilon/C[/tex].

Puisque la suite [tex](T_n(y))[/tex] converge, elle est de Cauchy et on peut trouver p tel que pour n,m>p, on a
[tex]\|T_n(y)-T_m(y)\|\leq \epsilon[/tex].
Maintenant, on applique l'inégalité triangulaire :

[tex]\|T_n(x)-T_m(x)\|\leq \|T_n(x)-T_n(y)\|+\|T_n(y)-T_m(y)\|+\|T_m(y)-T_m(x)\| [/tex]

et c'est alors facile de conclure....

Ainsi, puisque F est complet, la suite [tex](T_n(x))[/tex] est convergente, et on peut fabriquer T(x) pour tout x dans E.

Fred.

samo12

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Re : espace fonctionnel

Re, J'ai pas totalement compris ce que tu as écrit et comment as tu fais pour démontrer que Tn est de Cauchy, et aussi " D est dense dans E, on peut trouver y de D tel que ∥x−y∥≤ϵ/C ." tu veux dire par cela que x tend vers y?  et je ne sais pas conclure à la fin . merci de m'éclaircir :)

Fred

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Re : espace fonctionnel

Re, J'ai pas totalement compris ce que tu as écrit et comment as tu fais pour démontrer que Tn est de Cauchy, et aussi " D est dense dans E, on peut trouver y de D tel que ∥x−y∥≤ϵ/C ." tu veux dire par cela que x tend vers y?

Non, x est un élément fixé de E. J'utilise simplement la définition de dense dans E (relis ton cours sur la densité, on ne l'exprime pas seulement à l'aide d'une suite).

et je ne sais pas conclure à la fin . merci de m'éclaircir :)

En résumant tout ce que l'on a fait auparavant,

[tex]\|T_n(x)-T_m(x)\|\leq 3\varepsilon[/tex]

et donc la suite [tex](T_n(x))[/tex] est de Cauchy.

Fred.