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#1 26-02-2012 16:01:22
- Cocovista
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- Messages : 17
Exercices de préparation de Kholle.
Bonjour, je prépare une kholle et je sollicite une correction sur ce que je prépare.
Soient A et B deux parties non vides et majorées de R
Soit [tex]P=\{x=ab, a \in A, b \in B\}[/tex]
Sup(P) existe ? si oui est-il égal à Sup(A)Sup(B) ?
J'ai répondu OUI, et je l'ai prouvé comme ceci,
Soit k= SupA (existe car A majorée)
Soit k'=SupB (existe car B majorée)
On a alors :
Il existe une suite (an) \in A tq lim an=k lorsque n tend vers l'infini
Il existe une suite (bn) \in B tq lim bn=k' lorsque n tend vers l'infini
Soit [tex]x_n=a_n \times b_n \in P[/tex]
On a alors [tex]\lim x_n= \lim (a_n.b_n) = \lim a_n .\lim b_n[/tex] = kk' et kk' existe
Et ainsi on a Sup(P)=Sup(A)Sup(B)
Est-ce bon ?
Merci
Hors ligne
#2 26-02-2012 19:19:48
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Exercices de préparation de Kholle.
Bonjour,
Ta preuve n'est pas bonne, car on a l'impression que tu dis :
s'il existe une suite [tex](x_n)[/tex] de P qui converge vers l, alors l est la borne supérieure de l'ensemble.
En réalité, la réponse à la question est non. En effet, le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif, qui peut être très grand si les deux nombres sont "proches" de moins l'infini.
Choisis donc pour A et B le même ensemble, majoré, mais non minoré...
Fred.
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