Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

Membre

Inscription : 31-03-2011

Messages : 236

topologie

Salut, j'ai un petit exercice et merci de m'aider à le résoudre :) :
Soit E un espace vectoriel normé, F un sous espace vectoriel de E, E différent de F et F fermé. Montrer qu'il existe x dans E tel que d(x,F)>= 1/2 et ||x||=1.   j'ai pensé à utiliser la définition de F= {x dans E; d(x,F)=0} puisque F est fermé donc il est égale à son adhérence mais après je me suis bloqué.

Dernière modification par samo12 (14-02-2012 20:50:25)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : topologie

Bonsoir,

J'ai même l'impression qu'il existe un élément de [tex]x\in E[/tex] tel que [tex]d(x,F)=\|x\|=1[/tex].
Je dois me tromper quelque part, mais puisque tu travailles sur un espace vectoriel normé, tu disposes d'un produit scalaire et d'une notion d'orthogonalité. Si tu prends [tex]x[/tex] dans [tex]F^\perp[/tex], de norme [tex]1[/tex] ça doit marcher ??

Roro.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : topologie

Salut,

  La faille dans le raisonnement de Roro, c'est que la norme n'est pas forcément issue d'un produit scalaire.
Cet exercice n'a pas l'air si facile. A quel niveau es-tu? De quel cours s'agit-il???
As-tu vu des théorèmes du style théorème de Hahn-Banach?

Fred.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : topologie

Bonjour,

  Voici une solution assez simple.
F étant un sous-espace fermé différent de E, il est contenu dans le noyau d'une forme linéaire continue non-nulle [tex]\phi[/tex],
qui est de norme 1. Puisque sa norme est égale à 1, on peut trouver x dans la boule unité fermée telle que [tex]|\phi(x)|\geq 1/2[/tex]

Maintenant, pour n'importe quel [tex]y\in F[/tex], on a
[tex]\frac12\leq |\phi(x)|=|\phi(x)-\phi(y)|\leq \|x-y\|[/tex]
de sorte que la distance de x à F est supérieure ou égale à 1/2.

Fred.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : topologie

Bonsoir,

Effectivement Fred a détecté ce que ne fonctionnait pas dans mon raisonnement que j'avais soupçonné trop simple...
Toute norme n'est pas issue d'un produit scalaire ! mea culpa.

Roro.