Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 19-01-2012 01:45:00
- blink
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probabilite
bonjour je voudrais avoir une petite precision sur un exo
X est de loi binomiale representant le nombre de succes dans n essaies independant soit Y le nombre de succes dans les m premiers essaies m<n
Trouvez la fonction de masse conditionnelle de Y etant donne X.
Je ne vois pas quoi faire, je ne trouve pas la fonction de masse conjointe. est ce quelqu un pourrais m aider
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#2 19-01-2012 02:04:41
- freddy
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Re : probabilite
Salut,
c'est l'expression de la loi de probabilité de Y sachant X. Si tu réfléchies un peu, tu devrais trouver assez facilement, ce n'est pas très compliqué.
Il suffit de se rappeler que, par définition : Prob(A/B)=Prob( A & B)/Prob(B).
Je repasserai tout à l'heure !
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#4 19-01-2012 15:01:26
- freddy
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Re : probabilite
Re,
bien sûr qu'elles ne sont pas indépendantes, puisque tu n'auras jamais Y > X par exemple;
Je te suggère de faire un petit schéma du genre :
Première loi avec n = 6 et X = 4
On peut avoir : 001111 ou bien 101110 ou bien 110110 ou bien ...
Ensuite, pose m= 3 par exemple. Que peut bien valoir Y ?
On "voit" bien dans ce cas que Y ne peut être nul par exemple. Il est compris entre 1 et 3. A partir de là, tu peux essayer de construire la loi conditionnelle de Y sachant X, puis essayer de généraliser.
Tu comprends mieux ?
Dernière modification par freddy (19-01-2012 18:27:49)
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#7 22-01-2012 23:58:19
- freddy
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Re : probabilite
You have to try again, again, again ... There is no free lunch !
Ceci dit, reprenons :en n =6 tirages, on a obtenu X=4 succès de 15 manières suivantes :
111 100 ou 110 110 ou 101 110 ...
111 010 ...
111 001 ...
dans 3 cas, pour m=3, on a Y=3.
Donc pour m = 3 et n = 6, on a [tex]\Pr(Y=3/X=4)=\frac{\binom{3}{3}\times p^3\times \binom{3}{1}\times p(1-p)^2}{\binom{6}{4}\times p^4(1-p)^2}=\frac15[/tex]
Ensuite, on peut avoir Y=2 comme suit :
110 110 ou 101 110 ou 011 110
110 101 ou 101 101 ou 011 101
110 011 ou 101 011 ou 011 011
Donc pour m = 3 et n = 6, on a [tex]\Pr(Y=2/X=4)=\frac{\binom{3}{2}\times p^2(1-p)\times \binom{3}{2}\times p^2(1-p)}{\binom{6}{4}\times p^4(1-p)^2}=\frac35[/tex]
Enfin, la dernière valeur de Y=1, soit :
100 111 ou 010 111 ou 001 111
Donc pour m = 3 et n = 6, on a [tex]\Pr(Y=1/X=4)=\frac{\binom{3}{1}\times p(1-p)^2\times \binom{3}{3}\times p^3}{\binom{6}{4}\times p^4(1-p)^2}=\frac15[/tex]
et enfin [tex]\Pr(Y=0/X=4)=0[/tex] toujours avec m=3 et n=6.
Puis je te laisser faire avec X= 5 ?
Dernière modification par freddy (22-01-2012 23:59:23)
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#9 23-01-2012 06:53:12
- freddy
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Re : probabilite
serais ce( (ym)py(1-p)y-m* (x-yn-m)px-y(i-p)x-y-(n-m)) / (xn) px (1-p)n-x
C'est assez illisible, non ?
Sers toi de Latex, stp, ce serait mieux, et essaie de simplifier la formule, car il y a des termes en trop.
Sinon, tu ne dois pas être très loin !
Dernière modification par freddy (23-01-2012 09:49:47)
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#10 23-01-2012 12:10:40
- freddy
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Re : probabilite
Bon, je t'aide.
On pose [tex]m < n[/tex] et [tex]y \le x[/tex] . On a :
[tex]\Pr(Y=y / X = x)= \frac{\binom{m}{y}\times p^y(1-p)^{m-y}\times \binom{n-m}{x-y}p^{x-y}(1-p)^{n-m-x+y}}{\binom{n}{x}\times p^x(1-p)^{n-x}}[/tex]
et on trouve une loi de probabilité classique (tirage sans remise dans une urne) :
[tex]\Pr(Y=y / X = x)= \frac{\binom{m}{y}\times \binom{n-m}{x-y}}{\binom{n}{x}}=\frac{\binom{x}{y}\times \binom{n-x}{m-y}}{\binom{n}{m}}[/tex]
C'est ce qu'on voulait que tu trouves.
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#12 23-01-2012 23:10:56
- freddy
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Re : probabilite
merci freddy, a part un erreur de signe j avais piger ton truc. J'etais aller chercher trop loin .............................. merci de m avoir ramener sur terre
Oui, je savais que tu avais pigé le truc !
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